题目
研究表明，人步行时重心升降的幅度约为脚跨一步距离的 \(0.1\) 倍。某人下班步行回家，导航地图显示单位离家 \(2\,\mathrm{km}\)，花 \(20\,\mathrm{min}\) 到小区门口，其中含等红灯 \(2\,\mathrm{min}\)，微信显示步数为 \(2995\) 步。他走每一步单脚克服重力所做的功和整个过程做功的平均功率约为（ ）。
选项
- A. \(40\,\mathrm J，100\,\mathrm W\)
- B. \(40\,\mathrm J，111\,\mathrm W\)
- C. \(20\,\mathrm J，100\,\mathrm W\)
- D. \(4\,\mathrm J，11\,\mathrm W\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：恒力做功与过程判断
训练能力：功的正负判断、力位移夹角处理
前置知识：功的定义、牛顿第二定律
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 求一步距离与重心升高
平均一步距离 \(l=2000/2995\approx0.668\,\mathrm m\)，重心一次升高约 \(\Delta h=0.1l\approx0.0668\,\mathrm m\)。原题印刷题面未列出人的质量；选项所对应的常用估算值为 \(m\approx60\,\mathrm{kg}\)。
2. 求每一步的功
按 \(m=60\,\mathrm{kg}\)、\(g\approx10\,\mathrm{m/s^2}\) 估算，每一步克服重力做功 \(W_1=mg\Delta h\approx40\,\mathrm J\)。
3. 求全过程平均功率
总功约 \(W=40\times2995\approx1.20\times10^5\,\mathrm J\)。题目问全过程，时间应取包含红灯等待的 \(20\,\mathrm{min}=1200\,\mathrm s\)，故 \(\bar P\approx100\,\mathrm W\)。答案为 A。
易错点
- 把全过程时间误取为扣除等灯后的 \(18\,\mathrm{min}\)
初学者探索过程
从“恒力做功与过程判断”开始探索
先把“课后单选第3题：健走克服重力做功”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课后单选第3题：健走克服重力做功”后，判断为什么“把起重机拉力直接当成货物重力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“功的正负判断、力位移夹角处理”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把起重机拉力直接当成货物重力。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[P=\frac{W}{t}=Fv\cos\theta,\qquad ma=\frac{P}{v}-f\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“功的正负判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“力位移夹角处理”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[P=\frac{W}{t}=Fv\cos\theta,\qquad ma=\frac{P}{v}-f\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“功的正负判断、力位移夹角处理”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“恒力做功与过程判断”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“课后单选第3题：健走克服重力做功”训练的“功的正负判断、力位移夹角处理”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[P=\frac{W}{t}=Fv\cos\theta,\qquad ma=\frac{P}{v}-f\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“课后单选第3题：健走克服重力做功”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[P=\frac{W}{t}=Fv\cos\theta,\qquad ma=\frac{P}{v}-f\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[P=\frac{W}{t}=Fv\cos\theta,\qquad ma=\frac{P}{v}-f\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：跑步重心升降
**基础设问**
质量 \(m=50\,\mathrm{kg}\) 的学生跑完 \(1500\,\mathrm m\) 用时 \(6\,\mathrm{min}\)，共跑 \(1200\) 步。若每步重心升高为步长的 \(0.08\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，估算克服重力做功的平均功率。
**综合提升**
把原题中的恒力推广为方向或大小随路径参数 \(s\) 变化的力 \(\vec F(s)\)。（1）写出总功的积分表达式；（2）给出瞬时功率；（3）说明同一始末位置沿不同路径做功何时相同；（4）设计一个由 \(P-t\) 图像反求总功的方法。
变式答案
**1. 基础设问**
步长 \(l=1500/1200=1.25\,\mathrm m\)，每步升高 \(0.10\,\mathrm m\)，每步功 \(50\,\mathrm J\)。总功 \(6.0\times10^4\,\mathrm J\)，平均功率约 \(167\,\mathrm W\)。
**2. 综合提升**
总功和瞬时功率分别为
\[W=\int_{s_1}^{s_2}\vec F(s)\cdot d\vec s,\qquad P=\vec F\cdot\vec v=\frac{dW}{dt}.\]
只有保守力的功才只由始末位置决定；一般外力功与路径有关。\(P-t\) 图像的有符号面积 \(\int Pdt\) 就是总功。
思路提示
**基础思路**
用总距离除以步数求步长，再按给定比例求每步重心升高，最后用总功除以全过程时间。
**进阶思路**
从定力公式升级到线积分与功率积分，可统一处理变大小、变方向和分段做功。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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