题目
（多选）升降机内斜面的倾角 \(\theta=30^\circ\)，质量为 \(2\,\mathrm{kg}\) 的物体置于斜面上，始终不发生相对滑动。在升降机以 \(5\,\mathrm{m/s^2}\) 的加速度从静止开始匀加速上升 \(4\,\mathrm s\) 的过程中，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，则（ ）。
选项
- A. 斜面对物体的支持力做功 \(900\,\mathrm J\)
- B. 斜面对物体的摩擦力做功 \(-300\,\mathrm J\)
- C. 物体克服重力做功 \(-800\,\mathrm J\)
- D. 合外力对物体做功 \(400\,\mathrm J\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：运动接触面对物体做功
训练能力：参考系位移判断、分力做功计算
前置知识：功的定义、受力平衡
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 求物体位移
物体相对升降机静止，随升降机竖直向上做匀加速运动。\(s=\frac12at^2=\frac12\times5\times4^2=40\,\mathrm m\)，末速度 \(v=at=20\,\mathrm{m/s}\)。
2. 求支持力与摩擦力
物体在竖直方向具有加速度 \(a\)。分解斜面对物体的作用力可得 \(N=m(g+a)\cos\theta\)、\(f=m(g+a)\sin\theta\)，且静摩擦力沿斜面向上。
易错点
- 把摩擦力方向判为沿斜面向下
3. 分别计算各力的功
\(W_N=Ns\cos\theta=m(g+a)s\cos^2\theta=900\,\mathrm J\)；\(W_f=fs\sin\theta=m(g+a)s\sin^2\theta=300\,\mathrm J\)，为正功。重力做功 \(-mgs=-800\,\mathrm J\)，克服重力做功应为 \(+800\,\mathrm J\)。
4. 用动能定理校验
合外力功 \(W_{\mathrm{合}}=\frac12mv^2=400\,\mathrm J\)，也等于 \(900+300-800\)。因此 A、D 正确。
初学者探索过程
从“运动接触面对物体做功”开始探索
先把“课后多选第6题：升降机内斜面对物体做功”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课后多选第6题：升降机内斜面对物体做功”后，判断为什么“题目给出 \(\mu\) 就机械地写成 \(f=\mu N\)”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“参考系位移判断、分力做功计算”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：题目给出 \(\mu\) 就机械地写成 \(f=\mu N\)。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[W_N=Ns\cos\theta=m(g+a)s\cos^2\theta\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“参考系位移判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“分力做功计算”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[W_N=Ns\cos\theta=m(g+a)s\cos^2\theta\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“参考系位移判断、分力做功计算”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“运动接触面对物体做功”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“课后多选第6题：升降机内斜面对物体做功”训练的“参考系位移判断、分力做功计算”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[W_N=Ns\cos\theta=m(g+a)s\cos^2\theta\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“课后多选第6题：升降机内斜面对物体做功”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[W_N=Ns\cos\theta=m(g+a)s\cos^2\theta\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[W_N=Ns\cos\theta=m(g+a)s\cos^2\theta\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：加速升降机中的斜面
**基础设问**
质量 \(m=1\,\mathrm{kg}\) 的物块固定在倾角 \(37^\circ\) 的升降机斜面上。升降机由静止以 \(a=2\,\mathrm{m/s^2}\) 上升 \(3\,\mathrm s\)。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)、\(\sin37^\circ=0.6\)、\(\cos37^\circ=0.8\)，求支持力和摩擦力对物块做的功。
**综合提升**
把原题中的恒力推广为方向或大小随路径参数 \(s\) 变化的力 \(\vec F(s)\)。（1）写出总功的积分表达式；（2）给出瞬时功率；（3）说明同一始末位置沿不同路径做功何时相同；（4）设计一个由 \(P-t\) 图像反求总功的方法。
变式答案
**1. 基础设问**
\(s=9\,\mathrm m\)，\(N=m(g+a)\cos37^\circ=9.6\,\mathrm N\)，\(f=m(g+a)\sin37^\circ=7.2\,\mathrm N\)。故 \(W_N=Ns\cos37^\circ=69.12\,\mathrm J\)，\(W_f=fs\sin37^\circ=38.88\,\mathrm J\)。
**2. 综合提升**
总功和瞬时功率分别为
\[W=\int_{s_1}^{s_2}\vec F(s)\cdot d\vec s,\qquad P=\vec F\cdot\vec v=\frac{dW}{dt}.\]
只有保守力的功才只由始末位置决定；一般外力功与路径有关。\(P-t\) 图像的有符号面积 \(\int Pdt\) 就是总功。
思路提示
**基础思路**
先在地面参考系中求物块竖直加速度和位移，再将斜面作用力分解到竖直位移方向。
**进阶思路**
从定力公式升级到线积分与功率积分，可统一处理变大小、变方向和分段做功。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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