题目
一辆新能源汽车在平直公路上由静止开始启动。启动过程中，汽车牵引力的功率及瞬时速度随时间的变化分别如图甲、乙所示：前 \(5\,\mathrm s\) 功率由 \(0\) 线性增至 \(15\,\mathrm{kW}\)，速度由 \(0\) 线性增至 \(5\,\mathrm{m/s}\)；此后功率保持 \(15\,\mathrm{kW}\)，速度继续增大并逐渐稳定。已知汽车所受阻力恒为重力的 \(\frac15\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 该汽车的质量为 \(2.0\times10^3\,\mathrm{kg}\)
- B. 在前 \(5\,\mathrm s\) 内，汽车前进位移大小为 \(25\,\mathrm m\)
- C. 整个过程中汽车的牵引力大小保持不变
- D. 在前 \(5\,\mathrm s\) 内，汽车牵引力做功为 \(3.75\times10^4\,\mathrm J\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：机车恒功率与分段启动
训练能力：牵引力速度关系、分阶段运动建模
前置知识：功率公式、动能定理
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 分析前 5 秒
前 \(5\,\mathrm s\) 内 \(P\) 与 \(v\) 都从零线性增加，故 \(F=P/v=15000/5=3000\,\mathrm N\) 为常量；加速度 \(a=5/5=1\,\mathrm{m/s^2}\)。
2. 判断质量与位移
由 \(F-\frac15mg=ma\) 得 \(3000-2m=m\)，所以 \(m=1000\,\mathrm{kg}\)，A 错。前 \(5\,\mathrm s\) 位移为 \(s=\frac12\times5\times5=12.5\,\mathrm m\)，B 错。
易错点
- 把速度图像矩形面积当成位移
3. 用功率图像面积求功
前 \(5\,\mathrm s\) 牵引力做功等于 \(P-t\) 图像面积：\(W=\frac12\times5\times15\,\mathrm{kW}=3.75\times10^4\,\mathrm J\)，D 对。进入恒功率阶段后 \(F=P/v\) 随速度增大而减小，C 错。
初学者探索过程
从“机车恒功率与分段启动”开始探索
先把“课后单选第4题：新能源汽车功率与速度图像”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课后单选第4题：新能源汽车功率与速度图像”后，判断为什么“把某一个力的功直接等同于动能变化”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“牵引力速度关系、分阶段运动建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把某一个力的功直接等同于动能变化。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[F=P/v\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“牵引力速度关系”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“分阶段运动建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[F=P/v\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“牵引力速度关系、分阶段运动建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“机车恒功率与分段启动”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“课后单选第4题：新能源汽车功率与速度图像”训练的“牵引力速度关系、分阶段运动建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[F=P/v\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“课后单选第4题：新能源汽车功率与速度图像”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[F=P/v\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[F=P/v\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：线性升功率启动
**基础设问**
某车前 \(4\,\mathrm s\) 的牵引功率由 \(0\) 线性增至 \(24\,\mathrm{kW}\)，速度由 \(0\) 线性增至 \(8\,\mathrm{m/s}\)。求这段时间牵引力、位移和牵引力做功。
**综合提升**
质量为 \(m\) 的车辆在恒定阻力 \(f\) 下以恒功率 \(P\) 加速。（1）写出牵引力和加速度关于速度的函数；（2）求极限速度；（3）若从速度 \(v_1\) 加速到 \(v_2\)，写出时间积分式；（4）解释为什么接近极限速度时继续提速越来越慢。
变式答案
**1. 基础设问**
\(F=P/v=3000\,\mathrm N\)，\(s=\frac12\times4\times8=16\,\mathrm m\)，\(W=\frac12\times4\times24\,\mathrm{kW}=4.8\times10^4\,\mathrm J\)。
**2. 综合提升**
恒功率阶段
\[F=\frac Pv,\qquad a(v)=\frac1m\left(\frac Pv-f\right),\qquad v_m=\frac Pf.\]
时间满足
\[t=\int_{v_1}^{v_2}\frac{m\,dv}{P/v-f}=m\int_{v_1}^{v_2}\frac{v\,dv}{P-fv}.\]
当 \(v\to v_m\) 时牵引力趋近阻力，合力与加速度趋近零，所以达到极限速度只是一种渐近过程。
思路提示
**基础思路**
当 \(P\) 与 \(v\) 同比例增长时，\(P/v\) 为恒定牵引力；功也可由 \(P-t\) 图像面积直接得到。
**进阶思路**
由 \(P=Fv\) 把恒功率转成随速度减小的牵引力，再进入牛顿第二定律；这比只算某一时刻多了函数与极限。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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