题目
如图，一轻弹簧的一端固定于 \(O\) 点，另一端系一小球。将小球从与悬点 \(O\) 在同一水平面且弹簧保持原长的 \(A\) 点无初速度释放，不计空气阻力。在小球由 \(A\) 点摆向最低点 \(B\) 的过程中，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 小球减少的机械能一定等于弹簧增加的弹性势能
- B. 小球减少的重力势能等于弹簧增加的弹性势能
- C. 小球增加的动能一定等于弹簧增加的弹性势能
- D. 小球增加的动能大于减少的重力势能
学习定位
弹簧与机械能
题族：弹簧系统与摩擦耗能
训练能力：往返状态比较、弹性势能与热量分配
前置知识：弹性势能、摩擦生热
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参考答案
分步解析
1. 选择研究系统
把小球、地球和弹簧组成的系统作为研究对象。过程中只有重力和弹簧弹力做功，且都对应系统内部的势能变化，因此系统机械能守恒。
2. 写出能量关系
从 \(A\) 到任意位置有 \(-\Delta E_{pg}=\Delta E_k+\Delta E_{pe}\)。所以重力势能的减少同时转化为动能和弹性势能，B、C 均把两部分误当成相等；且 \(\Delta E_k\lt-\Delta E_{pg}\)，D 错误。
3. 只看小球的机械能
小球自身机械能为 \(E_k+E_{pg}\)。弹簧弹力对小球做负功，所以小球机械能的减少量恰等于弹簧弹性势能的增加量，A 正确。
初学者探索过程
从“弹簧系统与摩擦耗能”开始探索
先把“A 组第1题：弹簧摆能量转化”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A 组第1题：弹簧摆能量转化”后，判断为什么“用弹簧弹力的末值直接乘位移计算变力功”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“往返状态比较、弹性势能与热量分配”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：用弹簧弹力的末值直接乘位移计算变力功。
检查这个想法：先执行：先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[-\Delta E_{pg}=\Delta E_k+\Delta E_{pe}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“往返状态比较”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“弹性势能与热量分配”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[-\Delta E_{pg}=\Delta E_k+\Delta E_{pe}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“往返状态比较、弹性势能与热量分配”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弹簧发射器与缓冲机构：现实中的“弹簧系统与摩擦耗能”
现实场景
弹簧发射器、车辆缓冲器和机械储能装置利用弹性形变暂存能量，再把能量释放给运动部件。
题目与现实如何对应
题目中的弹簧和物块对应储能元件与负载，压缩量和速度对应储能状态和释放效果。 当前题目“A 组第1题：弹簧摆能量转化”训练的“往返状态比较、弹性势能与热量分配”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[-\Delta E_{pg}=\Delta E_k+\Delta E_{pe}\]
更一般的模型关系是：
\[E_{p,s}=\frac12kx^2\]
理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实弹簧存在质量和内耗。
- 碰撞、摩擦和限位结构会带来额外能量损失。
带回原题想一想
把“A 组第1题：弹簧摆能量转化”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态”建立模型。可先使用：
\[-\Delta E_{pg}=\Delta E_k+\Delta E_{pe}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[-\Delta E_{pg}=\Delta E_k+\Delta E_{pe}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：弹簧摆最低点速度
**基础设问**
质量为 \(m\) 的小球由与悬点等高处静止释放，下降到最低点时重力势能减少 \(12\,\mathrm J\)，弹簧弹性势能增加 \(5\,\mathrm J\)。求最低点动能。
**综合提升**
在原弹簧能量模型中加入粗糙段和可移动支座。（1）分别以“物块”和“物块—弹簧—支座”为系统列能量方程；（2）指出弹簧力在两个系统中的身份；（3）求摩擦生热；（4）说明何时可以使用机械能守恒，何时必须使用功能关系。
变式答案
**1. 基础设问**
由系统机械能守恒，\(\Delta E_k=12-5=7\,\mathrm J\)。
**2. 综合提升**
只研究物块时，弹簧力是外力并做功；把弹簧纳入系统后，它对应系统内部弹性势能变化。统一关系可写成
\[W_{外,非保守}=\Delta(E_k+E_{pg}+E_{ps})+Q.\]
摩擦生热仍为 \(Q=f\Delta s_{rel}\)。只有系统没有非保守外功且没有耗散时，机械能才守恒。
思路提示
**基础思路**
重力势能减少量不是全部变成动能，还要扣除弹簧弹性势能的增加量。
**进阶思路**
同一个力在不同系统边界下可能是外功，也可能是势能变化；先选系统可避免重复计算弹簧功。