题目
如图，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为 \(m\)、套在粗糙竖直固定杆上 \(A\) 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从 \(A\) 处由静止开始下滑，经过 \(B\) 处时速度最大，到达 \(C\) 处时速度为零，\(AC=h\)。圆环在 \(C\) 处获得一个竖直向上的速度 \(v\)，恰好能回到 \(A\)；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为 \(g\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 下滑过程中，加速度一直减小
- B. 下滑过程中，因摩擦力产生的热量小于 \(\dfrac14mv^2\)
- C. 下滑经过 \(B\) 的速度小于上滑经过 \(B\) 的速度
- D. 在 \(C\) 处，弹簧的弹性势能为 \(\dfrac14mv^2-mgh\)
学习定位
弹簧与机械能
题族：弹簧系统与摩擦耗能
训练能力：往返状态比较、弹性势能与热量分配
前置知识：弹性势能、摩擦生热
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 判断下滑加速度
圆环下滑时，弹簧的伸长量以及向上的弹力分量逐渐增大，杆对圆环的压力及滑动摩擦力也随之增大。因此向下合力持续减小，加速度从正值减到零，再变为向上，A 正确。
2. 比较往返热量
摩擦力大小只由圆环所在位置决定，往返经过同一路径，所以从 \(A\) 到 \(C\) 与从 \(C\) 到 \(A\) 产生的热量相同，均记为 \(Q\)。下滑有 \(mgh=E_{pe,C}+Q\)；上滑恰到 \(A\) 有 \(\frac12mv^2+E_{pe,C}=mgh+Q\)。联立得 \(Q=\frac14mv^2\)，故 B 错误。
3. 比较 B 点上下行速度
设 \(A\) 到 \(B\) 下滑产生热量 \(Q_{AB}\)。在同一 \(B\) 点，上滑时系统机械能比下滑时多 \(2Q_{AB}\)，所以 \(E_{k,\text{上}}>E_{k,\text{下}}\)，即 \(v_{B,\text{上}}>v_{B,\text{下}}\)，C 正确。
4. 求 C 点弹性势能
由下滑能量式和 \(Q=\frac14mv^2\)，得 \(E_{pe,C}=mgh-\frac14mv^2\)，与 D 给出的次序相反，因此 D 错误。
初学者探索过程
从“弹簧系统与摩擦耗能”开始探索
先把“B 组第6题：粗糙竖杆弹簧圆环”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B 组第6题：粗糙竖杆弹簧圆环”后，判断为什么“用弹簧弹力的末值直接乘位移计算变力功”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“往返状态比较、弹性势能与热量分配”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：用弹簧弹力的末值直接乘位移计算变力功。
检查这个想法：先执行：先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[E_{pe,C}=mgh-\frac14mv^2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“往返状态比较”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“弹性势能与热量分配”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[E_{pe,C}=mgh-\frac14mv^2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“往返状态比较、弹性势能与热量分配”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弹簧发射器与缓冲机构：现实中的“弹簧系统与摩擦耗能”
现实场景
弹簧发射器、车辆缓冲器和机械储能装置利用弹性形变暂存能量，再把能量释放给运动部件。
题目与现实如何对应
题目中的弹簧和物块对应储能元件与负载，压缩量和速度对应储能状态和释放效果。 当前题目“B 组第6题：粗糙竖杆弹簧圆环”训练的“往返状态比较、弹性势能与热量分配”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[E_{pe,C}=mgh-\frac14mv^2\]
更一般的模型关系是：
\[E_{p,s}=\frac12kx^2\]
理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实弹簧存在质量和内耗。
- 碰撞、摩擦和限位结构会带来额外能量损失。
带回原题想一想
把“B 组第6题：粗糙竖杆弹簧圆环”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态”建立模型。可先使用：
\[E_{pe,C}=mgh-\frac14mv^2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[E_{pe,C}=mgh-\frac14mv^2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：同一路径往返摩擦
**基础设问**
物体从 \(A\) 静止滑到 \(C\) 又以速度 \(v\) 从 \(C\) 恰好返回 \(A\)。若往返路径相同且摩擦力只与位置有关，求单程产生的热量与 \(v\) 的关系。
**综合提升**
在原弹簧能量模型中加入粗糙段和可移动支座。（1）分别以“物块”和“物块—弹簧—支座”为系统列能量方程；（2）指出弹簧力在两个系统中的身份；（3）求摩擦生热；（4）说明何时可以使用机械能守恒，何时必须使用功能关系。
变式答案
**1. 基础设问**
两程热量相等。将下行和上行能量方程相减，得 \(2Q=\frac12mv^2\)，即 \(Q=\frac14mv^2\)。
**2. 综合提升**
只研究物块时，弹簧力是外力并做功；把弹簧纳入系统后，它对应系统内部弹性势能变化。统一关系可写成
\[W_{外,非保守}=\Delta(E_k+E_{pg}+E_{ps})+Q.\]
摩擦生热仍为 \(Q=f\Delta s_{rel}\)。只有系统没有非保守外功且没有耗散时，机械能才守恒。
思路提示
**基础思路**
不要分别求位置相关的摩擦力；利用同一路径往返热量相等，直接联立两次能量关系。
**进阶思路**
同一个力在不同系统边界下可能是外功，也可能是势能变化；先选系统可避免重复计算弹簧功。