题目
如图，一游戏装置由倾角为 \(\alpha\) 的轨道 \(AB\)、水平传送带 \(BC\) 和半径为 \(R\) 的光滑半圆弧轨道 \(DE\) 组成，\(D、C、O、E\) 在同一竖直线上。小滑块从斜面不同高度静止释放，经过传送带和半圆轨道，最后由 \(E\) 点平抛落地。已知小滑块与斜面、传送带间的动摩擦因数分别为 \(\mu_1=0.5\)、\(\mu_2=0.1\)，\(BC=L=4\,\mathrm m\)，\(AB=L'=6\,\mathrm m\)，传送带向右匀速运动，速度 \(v=4\,\mathrm{m/s}\)，\(D\) 距地面的高度 \(H=3.05\,\mathrm m\)，\(R=0.9\,\mathrm m\)，\(\alpha=37^\circ\)，\(CD\) 间距离刚好允许滑块通过。忽略转轮大小和 \(CD\) 间距，滑块经过 \(B\) 点时无能量损失，其余阻力不计，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，\(\sin37^\circ=0.6\)。求：
（1）若滑块匀速通过传送带，释放高度 \(h\)；
（2）在（1）条件下，滑块平抛的水平距离 \(x\)；
（3）平抛距离 \(x\) 与释放高度 \(h\) 的关系。
学习定位
轨道临界与抛体衔接
题族：轨道、临界与抛体综合
训练能力：多过程状态连接、轨道临界判断
前置知识：动能定理、圆周运动、平抛运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 求到达 B 点的速度
从释放点到 \(B\) 的斜面路程为 \(h/\sin37^\circ\)。由动能定理，\(\frac12mv_B^2=mgh-\mu_1mg\cos37^\circ\cdot h/\sin37^\circ\)。代入 \(\sin37^\circ=0.6\)、\(\cos37^\circ=0.8\)，得 \(v_B^2=\frac{20}{3}h\)。
2. 求匀速通过传送带的释放高度
要在传送带上始终匀速，进入 \(B\) 时就应与带速相同，即 \(v_B=4\,\mathrm{m/s}\)。由 \(16=\frac{20}{3}h\)，得 \(h=2.4\,\mathrm m\)。
3. 求 E 点速度和平抛距离
由 \(D\) 到 \(E\) 下降 \(2R=1.8\,\mathrm m\)，故 \(v_E^2=4^2+4gR=52\)。\(E\) 点距地面 \(H-2R=1.25\,\mathrm m\)，平抛时间 \(t=\sqrt{2(H-2R)/g}=0.5\,\mathrm s\)，所以 \(x=v_Et=\sqrt{13}\,\mathrm m\)。
4. 建立 x 与 h 的分段关系
若 \(v_B\) 较小且在长 \(4\,\mathrm m\) 的带面上尚未加速到 \(4\,\mathrm{m/s}\)，则 \(v_C^2=v_B^2+2\mu_2gL=\frac{20}{3}h+8\)。达到带速的临界为 \(v_B^2=8\)，即 \(h=1.2\,\mathrm m\)。因此 \(0\le h\lt1.2\) 时 \(x=\frac12\sqrt{\frac{20}{3}h+44}\)；当 \(1.2\le h\le3.6\) 时，滑块在离开传送带前已与带同速，故 \(x=\sqrt{13}\,\mathrm m\)。
初学者探索过程
从“轨道、临界与抛体综合”开始探索
先把“B 组第9题：斜轨—传送带—半圆—平抛”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B 组第9题：斜轨—传送带—半圆—平抛”后，判断为什么“只令到达 C 点速度为零，忽略不脱轨条件”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“多过程状态连接、轨道临界判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：只令到达 C 点速度为零，忽略不脱轨条件。
检查这个想法：先执行：先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“多过程状态连接”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“轨道临界判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“多过程状态连接、轨道临界判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
过山车轨道与跳台设计：现实中的“轨道、临界与抛体综合”
现实场景
过山车、滑雪跳台和测试轨道需要同时满足能量、接触力和离轨后抛体轨迹的约束。
题目与现实如何对应
题目中的圆弧、斜面和离轨点对应真实轨道几何，支持力和速度对应结构载荷与安全边界。 当前题目“B 组第9题：斜轨—传送带—半圆—平抛”训练的“多过程状态连接、轨道临界判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
更一般的模型关系是：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实轨道存在滚动阻力和空气阻力。
- 乘员舒适性还限制加速度及其变化率。
带回原题想一想
把“B 组第9题：斜轨—传送带—半圆—平抛”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”建立模型。可先使用：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：多过程末速度与射程
**基础设问**
滑块以 \(v_C=3\,\mathrm{m/s}\) 从半径 \(R=0.8\,\mathrm m\) 的光滑竖直半圆上端进入，从下端水平飞出；下端距地 \(1.8\,\mathrm m\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求平抛距离。
**综合提升**
在原传送带或板块模型中，把物块与带面组成系统。（1）列出外力功、系统动能变化和内能增加的关系；（2）用相对路程求热量；（3）若带速可调，找出相对滑动方向改变的临界；（4）说明电动机做功为何不等于物块动能增加。
变式答案
**1. 基础设问**
\(v_E^2=v_C^2+4gR=9+32=41\)，飞行时间 \(t=\sqrt{2\times1.8/10}=0.6\,\mathrm s\)，故 \(x=0.6\sqrt{41}\,\mathrm m\)。
**2. 综合提升**
系统能量关系为
\[W_{电}+W_{其他外}=\Delta E_{k,系统}+\Delta E_p+Q,\qquad Q=f\Delta s_{rel}.\]
相对速度为零是滑动方向可能改变的临界，应分段计算。电动机还要改变传送带自身能量并补偿摩擦生热，所以其功通常不等于物块动能增量。
思路提示
**基础思路**
先用机械能守恒从半圆上端求下端速度，再把下端作为平抛起点。
**进阶思路**
先选系统再记账，把一对内摩擦的功合并为内能；速度匹配点决定是否需要分段。
真题拓展
圆弧滑道运输货物的功与能量
高考真题 · 同一考点
2023年广东卷 · 第8题
该真题与当前题同属“轨道临界与抛体衔接”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料