题目
极限跳伞者起跳后并不立即打开降落伞。开伞前可看成自由落体，开伞后空气阻力与速度平方成正比，跳伞者先减速下降，最后匀速下降。用 \(h\) 表示下落高度，\(E_p\) 表示以地面为零势能面的重力势能，\(E_k\) 表示动能，\(E\) 表示机械能，\(v\) 表示下落速度。下列图像可能符合事实的是（ ）。
选项
- A. \(E_p-h\) 图像为逐渐变缓并降到零的曲线
- B. \(E_k-h\) 图像在开伞前直线上升，开伞后下降并趋于一个正的定值
- C. \(E-h\) 图像在开伞前保持不变，开伞后下降并逐渐趋近于零
- D. \(v-h\) 图像在开伞前直线上升，开伞后下降并趋于一个正的定值
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：阻力作用与能量图像
训练能力：能量图像斜率分析、耗散功反演
前置知识：机械能变化、阻力做功
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 判断重力势能图像
\(h\) 是已经下落的高度，因此 \(E_p=E_{p0}-mgh\)，应随 \(h\) 线性减小。A 画成曲线，不符合。
2. 判断开伞前的动能与速度
开伞前近似自由落体，有 \(E_k=mgh\)，所以 \(E_k-h\) 为直线；而 \(v=\sqrt{2gh}\)，所以 \(v-h\) 不是直线，D 不符合。
3. 判断开伞后的长期状态
开伞后先减速，最终空气阻力等于重力，速度趋于非零的终端速度，因此动能也趋于非零定值，B 可以成立。终端匀速阶段机械能仍因空气阻力做负功而持续减小，不会水平趋近于零，C 不符合。
4. 结论
可能符合事实的只有 B。
初学者探索过程
从“阻力作用与能量图像”开始探索
先把“例2：极限跳伞能量图像”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例2：极限跳伞能量图像”后，判断为什么“把某一个力的功直接等同于动能变化”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“能量图像斜率分析、耗散功反演”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把某一个力的功直接等同于动能变化。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v=\sqrt{2gh}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“能量图像斜率分析”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“耗散功反演”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v=\sqrt{2gh}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“能量图像斜率分析、耗散功反演”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“阻力作用与能量图像”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“例2：极限跳伞能量图像”训练的“能量图像斜率分析、耗散功反演”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v=\sqrt{2gh}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“例2：极限跳伞能量图像”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[v=\sqrt{2gh}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v=\sqrt{2gh}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：开伞前后的动能
**基础设问**
质量为 \(60\,\mathrm{kg}\) 的跳伞者由静止下落 \(20\,\mathrm m\) 后开伞，忽略开伞前空气阻力，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求刚开伞时的速度和动能，并说明随后动能的变化趋势。
**综合提升**
给出机械能 \(E-x\) 图像和动能 \(E_k-x\) 图像。（1）分别说明两图斜率的物理意义；（2）反求非保守力与合力；（3）由两图之差得到势能函数；（4）判断转折点、停止点和受力规律改变点在图像上怎样区分。
变式答案
**1. 基础设问**
\(v=\sqrt{2gh}=20\,\mathrm{m/s}\)，\(E_k=\frac12mv^2=1.2\times10^4\,\mathrm J\)。开伞后先减小，最后趋于由终端速度决定的正值。
**2. 综合提升**
有
\[\frac{dE}{dx}=F_{非保守,x},\qquad \frac{dE_k}{dx}=F_{合,x},\qquad E_p=E-E_k.\]
停止点满足 \(E_k=0\)；动能极值处合力为零；机械能图斜率突变表示非保守力规律改变。三者含义不同，不能只凭图线“拐弯”统一判断。
思路提示
**基础思路**
自由落体阶段直接用动能定理；开伞后依据合力方向判断速度变化，再由 \(E_k=\frac12mv^2\) 判断动能。
**进阶思路**
把图像斜率翻译成力，把两图差翻译成势能，再用非负动能判断可达区间。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料