题目
（多选）质量为 \(m\) 的物体在水平传送带上由静止释放，传送带由电动机带动，始终以速度 \(v\) 匀速运动。物体与传送带间的动摩擦因数为 \(\mu\)，物体经过一会儿与传送带保持相对静止。对于物体从静止释放到相对静止这一过程，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 电动机多做的功为 \(\dfrac12mv^2\)
- B. 摩擦力对物体做的功为 \(mv^2\)
- C. 传送带克服摩擦力所做的功为 \(mv^2\)
- D. 电动机增加的功率为 \(\mu mgv\)
学习定位
传送带功能关系
题族：传送带能量与往返过程
训练能力：分阶段相对运动、电功热量动能分配
前置知识：相对位移、功能关系
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 求加速时间与摩擦功
物体加速度 \(a=\mu g\)，达到带速的时间 \(t=v/(\mu g)\)。摩擦力对物体做功等于动能增量：\(W_{f,\text{物}}=\frac12mv^2\)，所以 B 错误。
2. 求电动机额外做功
滑动阶段带面位移 \(x_{\text{带}}=vt=v^2/(\mu g)\)，所以传送带克服摩擦力的功为 \(f x_{\text{带}}=\mu mg\cdot v^2/(\mu g)=mv^2\)。这就是电动机多做的功，A 错、C 对。
3. 求增加的功率
滑动阶段传送带受摩擦力大小恒为 \(\mu mg\)，带速恒为 \(v\)，所以电动机增加的瞬时功率为 \(P=fv=\mu mgv\)，D 正确。
初学者探索过程
从“传送带能量与往返过程”开始探索
先把“A 组第3题：水平传送带电功与热量”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A 组第3题：水平传送带电功与热量”后，判断为什么“用滑块对地位移代替相对路程”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“分阶段相对运动、电功热量动能分配”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：用滑块对地位移代替相对路程。
检查这个想法：先执行：先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[f x_{\text{带}}=\mu mg\cdot v^2/(\mu g)=mv^2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“分阶段相对运动”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“电功热量动能分配”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[f x_{\text{带}}=\mu mg\cdot v^2/(\mu g)=mv^2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“分阶段相对运动、电功热量动能分配”如何受条件变化控制。
现实同构案例
物流传送带与分拣线：现实中的“传送带能量与往返过程”
现实场景
物流中心的传送带需要让货物加速、减速或转向，同时控制打滑、磨损和电机能耗。
题目与现实如何对应
题目中的物块对应货物，传送带速度对应输送速度，摩擦做功和热量对应电机输出、货物机械能变化与接触损耗。 当前题目“A 组第3题：水平传送带电功与热量”训练的“分阶段相对运动、电功热量动能分配”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[f x_{\text{带}}=\mu mg\cdot v^2/(\mu g)=mv^2\]
更一般的模型关系是：
\[Q=f_k s_{\mathrm{rel}}\]
摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实摩擦系数会随包装材料变化。
- 电机和传动机构自身也存在能量损耗。
带回原题想一想
把“A 组第3题：水平传送带电功与热量”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”建立模型。可先使用：
\[f x_{\text{带}}=\mu mg\cdot v^2/(\mu g)=mv^2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[f x_{\text{带}}=\mu mg\cdot v^2/(\mu g)=mv^2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：电动机额外功率
**基础设问**
传送带以 \(4\,\mathrm{m/s}\) 匀速运行，轻放一个 \(3\,\mathrm{kg}\) 的物体，\(\mu=0.2\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求滑动阶段电动机增加的功率和全过程额外做功。
**综合提升**
在原传送带或板块模型中，把物块与带面组成系统。（1）列出外力功、系统动能变化和内能增加的关系；（2）用相对路程求热量；（3）若带速可调，找出相对滑动方向改变的临界；（4）说明电动机做功为何不等于物块动能增加。
变式答案
**1. 基础设问**
\(P=\mu mgv=0.2\times3\times10\times4=24\,\mathrm W\)，\(W=mv^2=48\,\mathrm J\)。
**2. 综合提升**
系统能量关系为
\[W_{电}+W_{其他外}=\Delta E_{k,系统}+\Delta E_p+Q,\qquad Q=f\Delta s_{rel}.\]
相对速度为零是滑动方向可能改变的临界，应分段计算。电动机还要改变传送带自身能量并补偿摩擦生热，所以其功通常不等于物块动能增量。
思路提示
**基础思路**
额外功率用带受摩擦力乘带速；额外做功可再乘滑动时间，也可直接用 \(mv^2\)。
**进阶思路**
先选系统再记账，把一对内摩擦的功合并为内能；速度匹配点决定是否需要分段。
真题拓展
摆球碰撞、传送带与圆弧管道综合
高考真题 · 综合迁移
2022年浙江6月选考 · 第20题
该真题与当前题同属“传送带功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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