题目
如图所示，弹簧储存的弹性势能 \(E_p=4.5\,\mathrm J\)，右端放一质量为 \(m=1\,\mathrm{kg}\) 的物块，物块与弹簧不粘连，弹簧恢复原长时物块仍未到 \(B\) 点。传送带 \(BC\) 长 \(L_1=0.7\,\mathrm m\)；\(DE、FG\) 是竖直放置、半径分别为 \(R=0.3\,\mathrm m\) 和 \(r=0.15\,\mathrm m\) 的两个半圆轨道；\(HI\) 是固定光滑长直轨道，其上放有长 \(L_2=0.5\,\mathrm m\)、质量 \(M=1\,\mathrm{kg}\) 的木板。物块与传送带、物块与木板间的动摩擦因数均为 \(\mu=0.5\)，其余轨道光滑，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求：
（1）传送带静止时，物块到达右端 \(C\) 点的速度；
（2）传送带顺时针匀速转动，物块恰好不脱离轨道运动至 \(G\) 点时的带速；
（3）物块能滑上木板且不滑离木板时，传送带速度的范围。
学习定位
轨道临界与抛体衔接
题族：轨道、临界与抛体综合
训练能力：多过程状态连接、轨道临界判断
前置知识：动能定理、圆周运动、平抛运动
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参考答案
分步解析
1. 求到达 B 点的速度
\(A\) 到 \(B\) 光滑，弹簧恢复原长后物块与弹簧分离。由 \(\frac12mv_B^2=E_p=4.5\,\mathrm J\)，得 \(v_B=3\,\mathrm{m/s}\)。
2. 传送带静止时求 C 点速度
传送带静止时，摩擦力做功 \(-\mu mgL_1=-3.5\,\mathrm J\)。由 \(\frac12mv_C^2=4.5-3.5=1.0\,\mathrm J\)，得 \(v_C=\sqrt2\,\mathrm{m/s}\)。
3. 确定不脱轨临界带速
顺时针转动时带面向右，物块在 \(BC\) 上被加速。通过半径为 \(R\) 的竖直半圆内轨道，顶部临界条件为 \(v_E^2=gR\)。由 \(C\) 到 \(E\) 升高 \(2R\)，故 \(v_C^2=v_E^2+4gR=5gR=15\)。在 \(3\lt u\lt4\,\mathrm{m/s}\) 时物块可先加速到带速再匀速，因而临界带速为 \(u=\sqrt{15}\,\mathrm{m/s}\)。
4. 判断木板长度约束
到达 \(H\) 时物块相对 \(C\) 升高 \(2r=0.30\,\mathrm m\)，故 \(v_H^2=v_C^2-4gr=v_C^2-6\)。物块滑上质量相等的木板后，相对加速度为 \(a_{\text{相}}=\mu g+\mu mg/M=10\,\mathrm{m/s^2}\)，相对滑程 \(s_{\text{相}}=v_H^2/(2a_{\text{相}})=v_H^2/20\)。不滑离要求 \(s_{\text{相}}\le0.5\,\mathrm m\)，即 \(v_C^2\le16\)。结合不脱轨的 \(v_C^2\ge15\)，以及当 \(u\ge4\,\mathrm{m/s}\) 时物块在带末速度固定为 \(4\,\mathrm{m/s}\)，最终得到 \(u\ge\sqrt{15}\,\mathrm{m/s}\)。
初学者探索过程
从“轨道、临界与抛体综合”开始探索
先把“例5：弹簧—传送带—圆轨道—木板”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例5：弹簧—传送带—圆轨道—木板”后，判断为什么“只令到达 C 点速度为零，忽略不脱轨条件”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“多过程状态连接、轨道临界判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：只令到达 C 点速度为零，忽略不脱轨条件。
检查这个想法：先执行：先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“多过程状态连接”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“轨道临界判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“多过程状态连接、轨道临界判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
过山车轨道与跳台设计：现实中的“轨道、临界与抛体综合”
现实场景
过山车、滑雪跳台和测试轨道需要同时满足能量、接触力和离轨后抛体轨迹的约束。
题目与现实如何对应
题目中的圆弧、斜面和离轨点对应真实轨道几何，支持力和速度对应结构载荷与安全边界。 当前题目“例5：弹簧—传送带—圆轨道—木板”训练的“多过程状态连接、轨道临界判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
更一般的模型关系是：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实轨道存在滚动阻力和空气阻力。
- 乘员舒适性还限制加速度及其变化率。
带回原题想一想
把“例5：弹簧—传送带—圆轨道—木板”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”建立模型。可先使用：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：传送带接竖直圆轨道
**基础设问**
质量为 \(1\,\mathrm{kg}\) 的物块以 \(3\,\mathrm{m/s}\) 滑上长 \(0.8\,\mathrm m\) 的水平传送带，\(\mu=0.5\)，带面向右运动；带末接半径 \(R=0.20\,\mathrm m\) 的光滑竖直圆轨道。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，求物块恰好通过圆轨道最高点时在带末所需的速度。
**综合提升**
在原传送带或板块模型中，把物块与带面组成系统。（1）列出外力功、系统动能变化和内能增加的关系；（2）用相对路程求热量；（3）若带速可调，找出相对滑动方向改变的临界；（4）说明电动机做功为何不等于物块动能增加。
变式答案
**1. 基础设问**
最高点临界 \(v_{\text{顶}}^2=gR\)，由能量守恒 \(v_C^2=v_{\text{顶}}^2+4gR=5gR=10\)，故 \(v_C=\sqrt{10}\,\mathrm{m/s}\)。
**2. 综合提升**
系统能量关系为
\[W_{电}+W_{其他外}=\Delta E_{k,系统}+\Delta E_p+Q,\qquad Q=f\Delta s_{rel}.\]
相对速度为零是滑动方向可能改变的临界，应分段计算。电动机还要改变传送带自身能量并补偿摩擦生热，所以其功通常不等于物块动能增量。
思路提示
**基础思路**
先用最高点支持力为零确定临界速度，再从带末到圆轨道最高点应用机械能守恒。
**进阶思路**
先选系统再记账，把一对内摩擦的功合并为内能；速度匹配点决定是否需要分段。
真题拓展
圆弧滑道运输货物的功与能量
高考真题 · 同一考点
2023年广东卷 · 第8题
该真题与当前题同属“轨道临界与抛体衔接”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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