题目
图中是一段“S”形单行盘山公路。弯道 1、弯道 2 可看作两个不同水平面上的圆弧，中心线半径分别为 \(r_1=10\,\mathrm m\)、\(r_2=20\,\mathrm m\)，弯道 2 比弯道 1 高 \(h=12\,\mathrm m\)，一段直道与两弯道相切。质量 \(m=1200\,\mathrm{kg}\) 的汽车通过弯道时做匀速圆周运动，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为车重的 \(1.25\) 倍，且不得打滑。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求：
（1）汽车沿弯道 1 中心线行驶的最大速度 \(v_1\)；
（2）汽车以 \(v_1\) 进入直道，以 \(P=30\,\mathrm{kW}\) 的恒定功率行驶 \(8.0\,\mathrm s\)，进入弯道 2 时速度恰为其中心线允许的最大速度，求直道上除重力以外的阻力对汽车做的功；
（3）汽车从弯道 1 的 \(A\) 点进入，从同一直径上的 \(B\) 点驶离。司机利用宽 \(d=10\,\mathrm m\) 的路面，以最短时间匀速安全通过弯道，求最短时间。
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：弯道与功率优化
训练能力：几何路径比较、功率与安全条件联合
前置知识：圆周运动、功率
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参考答案
分步解析
1. 求弯道 1 最大速度
临界时最大径向静摩擦力恰好提供向心力：\(1.25mg=mv_1^2/r_1\)。因此 \(v_1=\sqrt{1.25gr_1}=\sqrt{125}=5\sqrt5\,\mathrm{m/s}\)。
2. 求弯道 2 最大速度
同理，\(v_2=\sqrt{1.25gr_2}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}\,\mathrm{m/s}\)。
3. 用动能定理求阻力功
发动机做功 \(W_P=Pt=3.0\times10^4\times8=2.4\times10^5\,\mathrm J\)，重力做功 \(W_g=-mgh=-1.44\times10^5\,\mathrm J\)。动能增量 \(\Delta E_k=\frac12m(v_2^2-v_1^2)=7.5\times10^4\,\mathrm J\)。由 \(W_P+W_g+W_f=\Delta E_k\)，得 \(W_f=-2.1\times10^4\,\mathrm J\)。
4. 利用路宽缩短过弯时间
最优轨迹连接直径两端 \(A、B\)，并在中点与内侧边界相切。弦半长为 \(10\,\mathrm m\)，矢高为 \(5\,\mathrm m\)，轨迹半径 \(\rho=(10^2+5^2)/(2\times5)=12.5\,\mathrm m\)，圆心角 \(\varphi=2\arcsin(10/12.5)\)。临界匀速为 \(v=\sqrt{1.25g\rho}=12.5\,\mathrm{m/s}\)，故 \(t_{\min}=\rho\varphi/v=2\arcsin(0.8)\approx1.85\,\mathrm s\)。
初学者探索过程
从“弯道与功率优化”开始探索
先把“例7：S 形盘山公路”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例7：S 形盘山公路”后，判断为什么“把某一个力的功直接等同于动能变化”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“几何路径比较、功率与安全条件联合”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把某一个力的功直接等同于动能变化。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\sum W=\Delta E_k\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“几何路径比较”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“功率与安全条件联合”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\sum W=\Delta E_k\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“几何路径比较、功率与安全条件联合”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“弯道与功率优化”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“例7：S 形盘山公路”训练的“几何路径比较、功率与安全条件联合”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\sum W=\Delta E_k\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“例7：S 形盘山公路”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[\sum W=\Delta E_k\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\sum W=\Delta E_k\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：水平弯道临界速度
**基础设问**
汽车在半径 \(R=25\,\mathrm m\) 的水平弯道上匀速行驶，最大侧向静摩擦力为 \(0.8mg\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求不侧滑的最大速度。
**综合提升**
给出机械能 \(E-x\) 图像和动能 \(E_k-x\) 图像。（1）分别说明两图斜率的物理意义；（2）反求非保守力与合力；（3）由两图之差得到势能函数；（4）判断转折点、停止点和受力规律改变点在图像上怎样区分。
变式答案
**1. 基础设问**
由 \(0.8mg=mv^2/R\)，得 \(v_{\max}=\sqrt{0.8gR}=10\sqrt2\,\mathrm{m/s}\)。
**2. 综合提升**
有
\[\frac{dE}{dx}=F_{非保守,x},\qquad \frac{dE_k}{dx}=F_{合,x},\qquad E_p=E-E_k.\]
停止点满足 \(E_k=0\)；动能极值处合力为零；机械能图斜率突变表示非保守力规律改变。三者含义不同，不能只凭图线“拐弯”统一判断。
思路提示
**基础思路**
水平弯道没有倾角时，径向静摩擦力是向心力的唯一来源；质量会约去。
**进阶思路**
把图像斜率翻译成力，把两图差翻译成势能，再用非负动能判断可达区间。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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