题目
传送带以速度 \(v\) 顺时针转动，在传送带左端轻放一质量为 \(m\) 的物块。已知物块与传送带间的动摩擦因数为 \(\mu\)，重力加速度为 \(g\)，且传送带足够长。要将物块传送到右端，问：
（1）物块相对传送带的位移是多少？
（2）传送带的电动机要多做多少功？
（3）在这一过程中，摩擦产生了多少热量？
学习定位
传送带功能关系
题族：传送带能量与往返过程
训练能力：分阶段相对运动、电功热量动能分配
前置知识：相对位移、功能关系
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 确定加速过程
物块受到大小为 \(f=\mu mg\) 的滑动摩擦力，故加速度 \(a=\mu g\)。当物块速度达到 \(v\) 后与传送带相对静止，加速时间为 \(t=\dfrac{v}{\mu g}\)。
2. 比较两种位移
在加速时间内，物块对地位移 \(x_{\text{物}}=\dfrac12at^2=\dfrac{v^2}{2\mu g}\)，传送带对地位移 \(x_{\text{带}}=vt=\dfrac{v^2}{\mu g}\)。因此相对位移大小为 \(\Delta x=x_{\text{带}}-x_{\text{物}}=\dfrac{v^2}{2\mu g}\)。
3. 计算电动机额外做功
摩擦力对传送带做负功，电动机为维持带速所做的额外功为 \(W_{\text{电}}=f x_{\text{带}}=\mu mg\cdot\dfrac{v^2}{\mu g}=mv^2\)。其中一半转化为物块动能，另一半转化为内能。
4. 计算摩擦生热
摩擦生热等于摩擦力与相对路程的乘积：\(Q=f\Delta x=\mu mg\cdot\dfrac{v^2}{2\mu g}=\dfrac12mv^2\)。
初学者探索过程
从“传送带能量与往返过程”开始探索
先把“例1：传送带功能关系”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例1：传送带功能关系”后，判断为什么“用滑块对地位移代替相对路程”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“分阶段相对运动、电功热量动能分配”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：用滑块对地位移代替相对路程。
检查这个想法：先执行：先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[Q=f_k s_{\mathrm{rel}}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“分阶段相对运动”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“电功热量动能分配”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[Q=f_k s_{\mathrm{rel}}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“分阶段相对运动、电功热量动能分配”如何受条件变化控制。
现实同构案例
物流传送带与分拣线：现实中的“传送带能量与往返过程”
现实场景
物流中心的传送带需要让货物加速、减速或转向，同时控制打滑、磨损和电机能耗。
题目与现实如何对应
题目中的物块对应货物，传送带速度对应输送速度，摩擦做功和热量对应电机输出、货物机械能变化与接触损耗。 当前题目“例1：传送带功能关系”训练的“分阶段相对运动、电功热量动能分配”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[Q=f_k s_{\mathrm{rel}}\]
更一般的模型关系是：
\[Q=f_k s_{\mathrm{rel}}\]
摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实摩擦系数会随包装材料变化。
- 电机和传动机构自身也存在能量损耗。
带回原题想一想
把“例1：传送带功能关系”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”建立模型。可先使用：
\[Q=f_k s_{\mathrm{rel}}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[Q=f_k s_{\mathrm{rel}}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：传送带加速木块
**基础设问**
水平传送带以 \(6\,\mathrm{m/s}\) 匀速运动，将 \(m=1.5\,\mathrm{kg}\) 的木块由静止轻放在带上，\(\mu=0.30\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求木块达到共同速度前的相对位移、热量和电动机额外做功。
**综合提升**
在原传送带或板块模型中，把物块与带面组成系统。（1）列出外力功、系统动能变化和内能增加的关系；（2）用相对路程求热量；（3）若带速可调，找出相对滑动方向改变的临界；（4）说明电动机做功为何不等于物块动能增加。
变式答案
**1. 基础设问**
\(\Delta x=6^2/(2\times0.30\times10)=6\,\mathrm m\)，\(Q=\frac12mv^2=27\,\mathrm J\)，\(W_{\text{电}}=mv^2=54\,\mathrm J\)。
**2. 综合提升**
系统能量关系为
\[W_{电}+W_{其他外}=\Delta E_{k,系统}+\Delta E_p+Q,\qquad Q=f\Delta s_{rel}.\]
相对速度为零是滑动方向可能改变的临界，应分段计算。电动机还要改变传送带自身能量并补偿摩擦生热，所以其功通常不等于物块动能增量。
思路提示
**基础思路**
先求达到共同速度的时间，再分别写出带和物块的对地位移；热量用 \(Q=f\Delta x\)，电动机额外做功用 \(W=f x_{\text{带}}\)。
**进阶思路**
先选系统再记账，把一对内摩擦的功合并为内能；速度匹配点决定是否需要分段。
真题拓展
摆球碰撞、传送带与圆弧管道综合
高考真题 · 综合迁移
2022年浙江6月选考 · 第20题
该真题与当前题同属“传送带功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料