题目
从地面竖直向上抛出一物体，其机械能 \(E_{\text{总}}\) 等于动能 \(E_k\) 与重力势能 \(E_p\) 之和，取地面为重力势能零点。图中 \(E_{\text{总}}\) 随高度 \(h\) 从 \((0,100\,\mathrm J)\) 线性减至 \((4\,\mathrm m,80\,\mathrm J)\)，\(E_p\) 从 \((0,0)\) 线性增至 \((4\,\mathrm m,80\,\mathrm J)\)。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 该物体的质量为 \(1\,\mathrm{kg}\)
- B. 当 \(h=0\) 时，物体的速率为 \(10\,\mathrm{m/s}\)
- C. 当 \(h=2\,\mathrm m\) 时，物体的动能 \(E_k=50\,\mathrm J\)
- D. 物体所受空气阻力大小为 \(25\,\mathrm N\)
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：阻力作用与能量图像
训练能力：能量图像斜率分析、耗散功反演
前置知识：机械能变化、阻力做功
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由势能图线求质量
\(E_p=mgh\)，图线斜率为 \(mg=80/4=20\,\mathrm{N}\)，所以 \(m=2\,\mathrm{kg}\)，A 错误。
2. 由初始动能求初速度
在 \(h=0\) 处 \(E_p=0\)，故 \(E_k=E_{\text{总}}=100\,\mathrm J\)。由 \(\frac12mv_0^2=100\) 且 \(m=2\,\mathrm{kg}\)，得 \(v_0=10\,\mathrm{m/s}\)，B 正确。
3. 读取 h=2 m 时的动能
机械能图线斜率为 \((80-100)/4=-5\,\mathrm{J/m}\)，所以 \(h=2\,\mathrm m\) 时 \(E_{\text{总}}=90\,\mathrm J\)；此时 \(E_p=40\,\mathrm J\)，故 \(E_k=50\,\mathrm J\)，C 正确。
4. 由机械能斜率求阻力
上升过程中只有空气阻力使机械能减少，\(dE/dh=-f\)，所以 \(f=5\,\mathrm N\)，D 错误。
初学者探索过程
从“阻力作用与能量图像”开始探索
先把“A 组第4题：有阻力竖直上抛能量图”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A 组第4题：有阻力竖直上抛能量图”后，判断为什么“把某一个力的功直接等同于动能变化”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“能量图像斜率分析、耗散功反演”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把某一个力的功直接等同于动能变化。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[E_k=E_{\text{总}}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“能量图像斜率分析”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“耗散功反演”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[E_k=E_{\text{总}}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“能量图像斜率分析、耗散功反演”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“阻力作用与能量图像”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“A 组第4题：有阻力竖直上抛能量图”训练的“能量图像斜率分析、耗散功反演”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[E_k=E_{\text{总}}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“A 组第4题：有阻力竖直上抛能量图”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[E_k=E_{\text{总}}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[E_k=E_{\text{总}}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：由能量图求阻力
**基础设问**
一物体竖直上升 \(5\,\mathrm m\) 时，机械能由 \(150\,\mathrm J\) 线性减至 \(120\,\mathrm J\)。若阻力恒定，求阻力大小。
**综合提升**
给出机械能 \(E-x\) 图像和动能 \(E_k-x\) 图像。（1）分别说明两图斜率的物理意义；（2）反求非保守力与合力；（3）由两图之差得到势能函数；（4）判断转折点、停止点和受力规律改变点在图像上怎样区分。
变式答案
**1. 基础设问**
\(f=-\Delta E/\Delta h=(150-120)/5=6\,\mathrm N\)。
**2. 综合提升**
有
\[\frac{dE}{dx}=F_{非保守,x},\qquad \frac{dE_k}{dx}=F_{合,x},\qquad E_p=E-E_k.\]
停止点满足 \(E_k=0\)；动能极值处合力为零；机械能图斜率突变表示非保守力规律改变。三者含义不同，不能只凭图线“拐弯”统一判断。
思路提示
**基础思路**
机械能—高度图像的负斜率就是恒定阻力的大小。
**进阶思路**
把图像斜率翻译成力，把两图差翻译成势能，再用非负动能判断可达区间。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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