题目
如图，有两个相互垂直且等高的水平传送带 \(M\) 和 \(N\)，速度大小分别为 \(0.6\,\mathrm{m/s}\)、\(0.8\,\mathrm{m/s}\)，方向如图。一小煤块离开传送带 \(M\) 前已与 \(M\) 同速，并平稳地传到传送带 \(N\) 上。煤块质量为 \(1\,\mathrm{kg}\)，与传送带 \(N\) 间的动摩擦因数为 \(0.2\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，传送带 \(N\) 足够宽。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 煤块传到 \(N\) 前的瞬间，相对传送带 \(N\) 的速度大小为 \(1.4\,\mathrm{m/s}\)
- B. 煤块传到 \(N\) 上后，经过 \(1\,\mathrm s\) 与 \(N\) 保持相对静止
- C. 煤块在 \(N\) 上滑动的划痕是直线，长度为 \(0.25\,\mathrm m\)
- D. 煤块在 \(N\) 上滑动过程中，因摩擦产生的热量为 \(1\,\mathrm J\)
学习定位
传送带功能关系
题族：垂直传送带与相对运动
训练能力：二维相对运动、摩擦功与热量分配
前置知识：动能定理、相对位移
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 求初始相对速度
取 \(M\) 的方向为 \(x\) 轴、\(N\) 的方向为 \(y\) 轴，则煤块相对 \(N\) 的初速度为 \(\vec v_{\text{相}}=(0.6,-0.8)\,\mathrm{m/s}\)，大小为 \(\sqrt{0.6^2+0.8^2}=1.0\,\mathrm{m/s}\)，A 错误。
2. 求达到相对静止的时间
滑动摩擦力始终与相对速度反向，相对速度大小以 \(a_{\text{相}}=\mu g=2\,\mathrm{m/s^2}\) 匀减至零，所需时间为 \(t=1/2=0.5\,\mathrm s\)。经过 \(1\,\mathrm s\) 时当然已经相对静止，B 正确。
3. 求划痕与热量
相对加速度始终与相对速度共线，所以相对轨迹为直线。划痕长度 \(s_{\text{相}}=v_{\text{相}}^2/(2\mu g)=1^2/4=0.25\,\mathrm m\)，C 正确。热量 \(Q=\mu mg s_{\text{相}}=0.2\times1\times10\times0.25=0.5\,\mathrm J\)，D 错误。
初学者探索过程
从“垂直传送带与相对运动”开始探索
先把“A 组第5题：垂直传送带相对运动”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A 组第5题：垂直传送带相对运动”后，判断为什么“把相对位移某个分量当成划痕长度”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“二维相对运动、摩擦功与热量分配”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把相对位移某个分量当成划痕长度。
检查这个想法：先执行：先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[Q=\mu mg s_{\text{相}}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“二维相对运动”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“摩擦功与热量分配”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[Q=\mu mg s_{\text{相}}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“二维相对运动、摩擦功与热量分配”如何受条件变化控制。
现实同构案例
物流传送带与分拣线：现实中的“垂直传送带与相对运动”
现实场景
物流中心的传送带需要让货物加速、减速或转向，同时控制打滑、磨损和电机能耗。
题目与现实如何对应
题目中的物块对应货物，传送带速度对应输送速度，摩擦做功和热量对应电机输出、货物机械能变化与接触损耗。 当前题目“A 组第5题：垂直传送带相对运动”训练的“二维相对运动、摩擦功与热量分配”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[Q=\mu mg s_{\text{相}}\]
更一般的模型关系是：
\[Q=f_k s_{\mathrm{rel}}\]
摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实摩擦系数会随包装材料变化。
- 电机和传动机构自身也存在能量损耗。
带回原题想一想
把“A 组第5题：垂直传送带相对运动”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”建立模型。可先使用：
\[Q=\mu mg s_{\text{相}}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[Q=\mu mg s_{\text{相}}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：正交带上的相对速度
**基础设问**
煤块以 \(3\,\mathrm{m/s}\) 的水平速度落到速度为 \(4\,\mathrm{m/s}\) 的竖直方向传送带上，\(\mu g=5\,\mathrm{m/s^2}\)。求初始相对速度、达到相对静止的时间和相对滑程。
**综合提升**
在原传送带或板块模型中，把物块与带面组成系统。（1）列出外力功、系统动能变化和内能增加的关系；（2）用相对路程求热量；（3）若带速可调，找出相对滑动方向改变的临界；（4）说明电动机做功为何不等于物块动能增加。
变式答案
**1. 基础设问**
\(v_{\text{相}}=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm{m/s}\)，\(t=v_{\text{相}}/(\mu g)=1\,\mathrm s\)，\(s_{\text{相}}=v_{\text{相}}^2/(2\mu g)=2.5\,\mathrm m\)。
**2. 综合提升**
系统能量关系为
\[W_{电}+W_{其他外}=\Delta E_{k,系统}+\Delta E_p+Q,\qquad Q=f\Delta s_{rel}.\]
相对速度为零是滑动方向可能改变的临界，应分段计算。电动机还要改变传送带自身能量并补偿摩擦生热，所以其功通常不等于物块动能增量。
思路提示
**基础思路**
先作速度矢量差，再把相对运动看成一维匀减速运动。
**进阶思路**
先选系统再记账，把一对内摩擦的功合并为内能；速度匹配点决定是否需要分段。
真题拓展
摆球碰撞、传送带与圆弧管道综合
高考真题 · 综合迁移
2022年浙江6月选考 · 第20题
该真题与当前题同属“垂直传送带与相对运动”题族，核心约束、主方程和边界检查一致；差别主要在情境、数据或设问层级。
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