题目
一根长 \(8.5\,\mathrm m\) 的不可伸长柔软绳子两端分别固定在 \(A、B\) 点，\(A、B\) 的水平距离为 \(4\,\mathrm m\)，高度差为 \(0.5\,\mathrm m\)。绳上挂一小动滑轮，滑轮下固定一小木块，二者总质量 \(M=2\,\mathrm{kg}\)，平衡时位于 \(C\) 点。右下方有半径 \(R=11\,\mathrm m\)、圆心角 \(37^\circ\) 的光滑圆弧轨道，最高点为 \(D\)，最低点 \(E\) 与粗糙水平轨道相切。质量 \(m=2\,\mathrm{kg}\) 的小球从 \(E\) 点右侧 \(5\,\mathrm m\) 处以 \(v_0=13\,\mathrm{m/s}\) 向左运动，水平轨道动摩擦因数 \(\mu=0.25\)。小球经过 \(E\) 点、滑上圆弧后从 \(D\) 点抛出，在最高点恰与木块相碰并粘在一起，碰后速度为碰前小球速度的一半；随后经动滑轮向上运动，到 \(A\) 点正下方时速度恰为零。忽略空气阻力，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，\(\sin37^\circ=0.6\)，\(\cos37^\circ=0.8\)。求：
（1）小球运动到圆弧最低点 \(E\) 时对轨道的压力；
（2）\(C\) 点距 \(D\) 点的高度 \(h\) 和水平距离 \(x\)；
（3）碰后系统向上运动过程中克服滑轮摩擦力做的功。
学习定位
碰撞与能量转化
题族：碰撞前后的多过程能量
训练能力：碰撞前后分段、动量与能量联合
前置知识：动量守恒、动能定理
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 求 E 点速度与压力
小球在粗糙水平面上运动 \(5\,\mathrm m\)，由 \(v_E^2=v_0^2-2\mu gL=13^2-2\times0.25\times10\times5=144\)，得 \(v_E=12\,\mathrm{m/s}\)。在圆弧最低点有 \(N-mg=m v_E^2/R\)，所以 \(N=20+2\times144/11=508/11\,\mathrm N\)。
2. 求 D 点速度
从 \(E\) 到 \(D\) 升高 \(R(1-\cos37^\circ)=11\times0.2=2.2\,\mathrm m\)。圆弧光滑，故 \(v_D^2=v_E^2-2g\times2.2=100\)，即 \(v_D=10\,\mathrm{m/s}\)。切线与水平成 \(37^\circ\)，所以 \(v_{Dx}=8\,\mathrm{m/s}\)，\(v_{Dy}=6\,\mathrm{m/s}\)。
3. 求抛体最高点位置
到最高点的时间 \(t=v_{Dy}/g=0.6\,\mathrm s\)。因此 \(h=v_{Dy}^2/(2g)=1.8\,\mathrm m\)，\(x=v_{Dx}t=4.8\,\mathrm m\)。
4. 求克服滑轮摩擦力的功
平衡时两段绳关于竖直方向对称。由绳长和端点几何可得 \(C\) 点在 \(A\) 下方 \(4.0\,\mathrm m\)；动滑轮到达 \(A\) 正下方时，令其距 \(A\) 为 \(y\)，有 \(y+\sqrt{4^2+(y-0.5)^2}=8.5\)，解得 \(y=3.5\,\mathrm m\)，故碰后系统上升 \(0.5\,\mathrm m\)。碰前最高点处小球水平速度为 \(8\,\mathrm{m/s}\)，碰后速度为 \(4\,\mathrm{m/s}\)，总质量为 \(4\,\mathrm{kg}\)，碰后动能为 \(32\,\mathrm J\)。重力势能增加 \(4\times10\times0.5=20\,\mathrm J\)，末动能为零，故克服摩擦力做功为 \(32-20=12\,\mathrm J\)。
初学者探索过程
从“碰撞前后的多过程能量”开始探索
先把“例6：动滑轮—圆弧—碰撞综合”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例6：动滑轮—圆弧—碰撞综合”后，判断为什么“默认所有碰撞都同时满足机械能守恒”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“碰撞前后分段、动量与能量联合”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：默认所有碰撞都同时满足机械能守恒。
检查这个想法：先执行：先确定碰撞系统和碰撞前后两个瞬间，再分别检查动量与能量条件。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\sum\vec p_{\mathrm i}=\sum\vec p_{\mathrm f}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定碰撞系统和碰撞前后两个瞬间，再分别检查动量与能量条件”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“碰撞前后分段”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“短时碰撞先检查系统外力冲量；动能是否守恒需要由碰撞性质另行判断”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“动量与能量联合”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\sum\vec p_{\mathrm i}=\sum\vec p_{\mathrm f}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：短时碰撞先检查系统外力冲量；动能是否守恒需要由碰撞性质另行判断。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“碰撞前后分段、动量与能量联合”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆碰撞与防护结构：现实中的“碰撞前后的多过程能量”
现实场景
汽车吸能区、头盔和缓冲包装都通过延长碰撞时间、控制形变和重新分配能量来降低峰值载荷。
题目与现实如何对应
题目中的碰撞物体对应车辆或防护部件，速度变化对应事故前后状态，损失的机械能对应形变、热和声等内能。 当前题目“例6：动滑轮—圆弧—碰撞综合”训练的“碰撞前后分段、动量与能量联合”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\sum\vec p_{\mathrm i}=\sum\vec p_{\mathrm f}\]
更一般的模型关系是：
\[\sum\vec p_{\mathrm i}=\sum\vec p_{\mathrm f}\]
短时碰撞先检查系统外力冲量；动能是否守恒需要由碰撞性质另行判断，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实碰撞通常包含转动和多次接触。
- 材料的非线性形变会改变恢复系数。
带回原题想一想
把“例6：动滑轮—圆弧—碰撞综合”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定碰撞系统和碰撞前后两个瞬间，再分别检查动量与能量条件”建立模型。可先使用：
\[\sum\vec p_{\mathrm i}=\sum\vec p_{\mathrm f}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\sum\vec p_{\mathrm i}=\sum\vec p_{\mathrm f}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：圆弧离轨后的最高点碰撞
**基础设问**
质量 \(m\) 的小球以 \(10\,\mathrm{m/s}\) 从圆弧端点沿与水平成 \(30^\circ\) 的切线抛出，在最高点与静止的同质量木块粘在一起。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，求最高点相对抛出点的水平、竖直位移和碰后速度。
**综合提升**
给出机械能 \(E-x\) 图像和动能 \(E_k-x\) 图像。（1）分别说明两图斜率的物理意义；（2）反求非保守力与合力；（3）由两图之差得到势能函数；（4）判断转折点、停止点和受力规律改变点在图像上怎样区分。
变式答案
**1. 基础设问**
\(t=0.5\,\mathrm s\)，\(x=10\cos30^\circ\times0.5=\frac{5\sqrt3}{2}\,\mathrm m\)，\(h=(10\sin30^\circ)^2/(2g)=1.25\,\mathrm m\)。最高点水平速度为 \(5\sqrt3\,\mathrm{m/s}\)，完全非弹性碰撞后为 \(\frac{5\sqrt3}{2}\,\mathrm{m/s}\)。
**2. 综合提升**
有
\[\frac{dE}{dx}=F_{非保守,x},\qquad \frac{dE_k}{dx}=F_{合,x},\qquad E_p=E-E_k.\]
停止点满足 \(E_k=0\)；动能极值处合力为零；机械能图斜率突变表示非保守力规律改变。三者含义不同，不能只凭图线“拐弯”统一判断。
思路提示
**基础思路**
先把斜抛分解到水平与竖直方向；最高点竖直速度为零，再只在水平方向用动量守恒。
**进阶思路**
把图像斜率翻译成力，把两图差翻译成势能，再用非负动能判断可达区间。