题目
（多选）传送带与地面倾角 \(\theta=37^\circ\)，从 \(A\) 到 \(B\) 长 \(16\,\mathrm m\)，传送带以 \(10\,\mathrm{m/s}\) 的速度逆时针转动。在传送带上端 \(A\) 无初速度地放一个质量为 \(m=0.5\,\mathrm{kg}\) 的黑色煤块，它与传送带间的动摩擦因数 \(\mu=0.5\)，煤块在传送带上会留下黑色划痕。已知 \(\sin37^\circ=0.6\)，\(\cos37^\circ=0.8\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 煤块从 \(A\) 到 \(B\) 运动的时间为 \(2\,\mathrm s\)
- B. 煤块从 \(A\) 到 \(B\) 的过程中，传送带与煤块因摩擦产生的热量为 \(8\,\mathrm J\)
- C. 煤块从 \(A\) 到 \(B\) 的过程中，传送带上形成划痕的长度为 \(5\,\mathrm m\)
- D. 若传送带逆时针转动的速度可以调节，物体从 \(A\) 到 \(B\) 的最短时间为 \(\dfrac{4\sqrt5}{5}\,\mathrm s\)
学习定位
传送带功能关系
题族：传送带能量与往返过程
训练能力：分阶段相对运动、电功热量动能分配
前置知识：相对位移、功能关系
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 确定带面方向与加速度
逆时针转动时，上表面由 \(A\) 向 \(B\) 运动。煤块初速度为零，摩擦力沿斜面向下，故加速度 \(a=g\sin\theta+\mu g\cos\theta=6+4=10\,\mathrm{m/s^2}\)。
2. 求给定带速下的时间与划痕
煤块经 \(t_1=v/a=1\,\mathrm s\) 达到带速，此时位移 \(s_1=v^2/(2a)=5\,\mathrm m\)。之后以 \(10\,\mathrm{m/s}\) 匀速走完 \(11\,\mathrm m\)，用时 \(1.1\,\mathrm s\)，总时间 \(2.1\,\mathrm s\)，A 错误。滑动阶段带面走过 \(10\,\mathrm m\)，煤块走过 \(5\,\mathrm m\)，相对位移与划痕长度均为 \(5\,\mathrm m\)，C 正确。
3. 求摩擦生热
摩擦力为 \(f=\mu mg\cos\theta=2\,\mathrm N\)，所以 \(Q=f\Delta x_{\text{相}}=2\times5=10\,\mathrm J\)，B 错误。
4. 求可调带速下的最短时间
设带速为 \(u\)。煤块加速到 \(u\) 的时间为 \(u/10\)，位移为 \(u^2/20\)，随后匀速，故 \(T(u)=u/20+16/u\)。令 \(dT/du=0\)，得 \(u=8\sqrt5\,\mathrm{m/s}\)，最短时间 \(T_{\min}=4\sqrt5/5\,\mathrm s\)，D 正确。
初学者探索过程
从“传送带能量与往返过程”开始探索
先把“B 组第8题：倾斜传送带煤块划痕”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B 组第8题：倾斜传送带煤块划痕”后，判断为什么“用滑块对地位移代替相对路程”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“分阶段相对运动、电功热量动能分配”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：用滑块对地位移代替相对路程。
检查这个想法：先执行：先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[Q=f\Delta x_{\text{相}}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“分阶段相对运动”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“电功热量动能分配”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[Q=f\Delta x_{\text{相}}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“分阶段相对运动、电功热量动能分配”如何受条件变化控制。
现实同构案例
物流传送带与分拣线：现实中的“传送带能量与往返过程”
现实场景
物流中心的传送带需要让货物加速、减速或转向，同时控制打滑、磨损和电机能耗。
题目与现实如何对应
题目中的物块对应货物，传送带速度对应输送速度，摩擦做功和热量对应电机输出、货物机械能变化与接触损耗。 当前题目“B 组第8题：倾斜传送带煤块划痕”训练的“分阶段相对运动、电功热量动能分配”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[Q=f\Delta x_{\text{相}}\]
更一般的模型关系是：
\[Q=f_k s_{\mathrm{rel}}\]
摩擦生热由接触面的相对路程决定，机械能变化由研究系统所受外力功决定，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实摩擦系数会随包装材料变化。
- 电机和传动机构自身也存在能量损耗。
带回原题想一想
把“B 组第8题：倾斜传送带煤块划痕”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先分清物体对地位移、传送带位移和接触面的相对滑动路程”建立模型。可先使用：
\[Q=f\Delta x_{\text{相}}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[Q=f\Delta x_{\text{相}}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：带速可调的最短输送时间
**基础设问**
物块在长度为 \(L\) 的同向传送带上由静止开始，以恒加速度 \(a\) 加速到带速 \(u\) 后共同匀速。求总时间 \(T(u)\) 及最优带速。
**综合提升**
在原传送带或板块模型中，把物块与带面组成系统。（1）列出外力功、系统动能变化和内能增加的关系；（2）用相对路程求热量；（3）若带速可调，找出相对滑动方向改变的临界；（4）说明电动机做功为何不等于物块动能增加。
变式答案
**1. 基础设问**
\(T(u)=u/(2a)+L/u\)，令导数为零得 \(u_{\text{opt}}=\sqrt{2aL}\)，\(T_{\min}=\sqrt{2L/a}\)。
**2. 综合提升**
系统能量关系为
\[W_{电}+W_{其他外}=\Delta E_{k,系统}+\Delta E_p+Q,\qquad Q=f\Delta s_{rel}.\]
相对速度为零是滑动方向可能改变的临界，应分段计算。电动机还要改变传送带自身能量并补偿摩擦生热，所以其功通常不等于物块动能增量。
思路提示
**基础思路**
把全过程分为加速段和共同匀速段，再把总时间写成带速的函数求最小值。
**进阶思路**
先选系统再记账，把一对内摩擦的功合并为内能；速度匹配点决定是否需要分段。
真题拓展
摆球碰撞、传送带与圆弧管道综合
高考真题 · 综合迁移
2022年浙江6月选考 · 第20题
该真题与当前题同属“传送带功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料