题目
一架喷气式飞机的质量 \(m=5\times10^3\,\mathrm{kg}\)。起飞过程中，飞机从静止开始滑跑 \(s=5.3\times10^2\,\mathrm m\) 后达到起飞速度 \(v=60\,\mathrm{m/s}\)。飞机受到的平均阻力为其重力的 \(0.02\) 倍，求飞机受到的牵引力。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：动能定理与力位移图像
训练能力：合功表达、图像斜率读取
前置知识：功的计算、动能
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参考答案
分步解析
1. 选取研究过程
研究飞机从静止滑跑到达到 \(60\,\mathrm{m/s}\) 的全过程。牵引力做正功，平均阻力 \(f=0.02mg\) 做负功，重力和支持力不做功。
2. 列动能定理
由 \(W_{\mathrm{合}}=\Delta E_k\)，有
\[
(F-f)s=\frac12mv^2-0.
\]
因此 \(F=\dfrac{mv^2}{2s}+0.02mg\)。
易错点
- 漏掉平均阻力的负功
3. 代入原题数据
\[
F=\frac{5\times10^3\times60^2}{2\times5.3\times10^2}+0.02\times5\times10^3\times10
\approx1.80\times10^4\,\mathrm N.
\]
所以飞机受到的平均牵引力约为 \(1.8\times10^4\,\mathrm N\)。
初学者探索过程
从“动能定理与力位移图像”开始探索
先把“例1：喷气式飞机起飞牵引力”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例1：喷气式飞机起飞牵引力”后，判断为什么“漏掉平均阻力的负功”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“合功表达、图像斜率读取”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：漏掉平均阻力的负功。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[
F=\frac{5\times10^3\times60^2}{2\times5.3\times10^2}+0.02\times5\times10^3\times10
\approx1.80\times10^4\,\mathrm N.
\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“合功表达”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“图像斜率读取”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[
F=\frac{5\times10^3\times60^2}{2\times5.3\times10^2}+0.02\times5\times10^3\times10
\approx1.80\times10^4\,\mathrm N.
\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“合功表达、图像斜率读取”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“动能定理与力位移图像”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“例1：喷气式飞机起飞牵引力”训练的“合功表达、图像斜率读取”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[
F=\frac{5\times10^3\times60^2}{2\times5.3\times10^2}+0.02\times5\times10^3\times10
\approx1.80\times10^4\,\mathrm N.
\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“例1：喷气式飞机起飞牵引力”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[
F=\frac{5\times10^3\times60^2}{2\times5.3\times10^2}+0.02\times5\times10^3\times10
\approx1.80\times10^4\,\mathrm N.
\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[
F=\frac{5\times10^3\times60^2}{2\times5.3\times10^2}+0.02\times5\times10^3\times10
\approx1.80\times10^4\,\mathrm N.
\]，并解释关键变量。 - 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：汽车加速驶过测试道
**基础设问**
质量为 \(1.5\times10^3\,\mathrm{kg}\) 的汽车由静止驶过 \(200\,\mathrm m\) 的测试道，末速度为 \(20\,\mathrm{m/s}\)，所受平均阻力为 \(600\,\mathrm N\)。求平均牵引力。
**综合提升**
把原动力装置改为同时受最大牵引力 \(F_m\) 和额定功率 \(P_m\) 限制。（1）求恒力阶段切换到恒功率阶段的速度；（2）写出两阶段的加速度；（3）建立到达给定速度的最短时间表达式；（4）说明最优策略为何总是贴着约束上限运行。
变式答案
**1. 基础设问**
由 \((F-f)s=\frac12mv^2\)，得 \(F=\frac{mv^2}{2s}+f=2.1\times10^3\,\mathrm N\)。
**2. 综合提升**
切换速度
\[v_c=\frac{P_m}{F_m}.\]
若阻力为 \(f\)，恒力阶段 \(a_1=(F_m-f)/m\)，恒功率阶段 \(a_2(v)=(P_m/v-f)/m\)。最短时间由
\[t=\frac{v_c-v_0}{a_1}+\int_{v_c}^{v_f}\frac{m\,dv}{P_m/v-f}\]
给出。任一时刻未用满允许牵引力或功率都会减小加速度，无法缩短时间。
思路提示
**基础思路**
先判断各力做功的正负，再把合功写成动能增量；不要把牵引力功直接等同于动能增量。
**进阶思路**
先找两种约束的交点，再分段积分；这是把单一动能方程提升为带约束的最优控制。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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