题目
（多选）滑块 \(a,b\) 的质量均为 \(m\)。a 套在固定竖直杆上，初始距光滑水平地面 \(h\)；b 放在地面上。a、b 由铰链用刚性轻杆连接并由静止开始运动，不计摩擦，二者视为质点。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. a 落地前，轻杆对 b 先做正功后做负功
- B. a 落地时速度为 \(\sqrt{gh}\)
- C. a 下落过程中，某一时刻其加速度大小大于 \(g\)
- D. a 落地前，当 a 的机械能最小时，b 对地面的压力为 \(0\)
学习定位
连接体与约束
题族：刚杆连接滑块
训练能力：几何约束建模、机械能极值求解
前置知识：关联速度、机械能守恒
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 写位置和速度约束
设 a 高度为 \(y\)、b 到竖杆水平距离为 \(x\)、杆长为 \(l\)，则 \(x^2+y^2=l^2\)，速度满足 \(x\dot x+y\dot y=0\)。b 先加速后减速，初末速度均为零，所以杆对 b 的总功先正后负，A 正确。
易错点
- 认为刚杆对两滑块都不做功
2. 求 a 落地速度
系统机械能守恒。a 落地时 \(y=0\)，由速度约束得 \(\dot x=0\)，此刻只有 a 有速度。因此 \(mgh=\frac12mv_a^2\)，得 \(v_a=\sqrt{2gh}\)，B 错。
易错点
- 把重力势能平均分给两个滑块
3. 分析 a 的加速度
由能量和约束可得 \(\dot y^2=\frac{2g(h-y)(l^2-y^2)}{l^2}\)，进而 \(\ddot y=\frac{g}{l^2}(-l^2-2hy+3y^2)\)。当 \(0\lt y\lt2h/3\) 时，向下加速度大小大于 g，C 正确。
易错点
- 认为只受重力的物体加速度才可能等于 g，连接体绝不可能超过 g
4. 判断 a 机械能最小时的支持力
a 的机械能为 \(E_a=mgh-mg\,y^2(h-y)/l^2\)，在 \(y=2h/3\) 处最小。此时杆的作用力恰为零，因此 b 只受重力和地面支持力，地面对 b 的支持力为 \(mg\)，不是 0，D 错。
易错点
- 把杆力为零误判为地面支持力为零
初学者探索过程
从“刚杆连接滑块”开始探索
先把“B组第10题：刚杆连接双滑块”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B组第10题：刚杆连接双滑块”后，判断为什么“认为刚杆对两滑块都不做功”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“几何约束建模、机械能极值求解”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：认为刚杆对两滑块都不做功。
检查这个想法：先执行：先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[x^2+y^2=l^2,\qquad x\dot x+y\dot y=0,\qquad mgh=\frac12mv_a^2+\frac12mv_b^2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“几何约束建模”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“机械能极值求解”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[x^2+y^2=l^2,\qquad x\dot x+y\dot y=0,\qquad mgh=\frac12mv_a^2+\frac12mv_b^2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“几何约束建模、机械能极值求解”如何受条件变化控制。
现实同构案例
起重滑轮与机械连杆：现实中的“刚杆连接滑块”
现实场景
起重机钢索、健身器械滑轮和机械连杆通过固定长度或固定接触关系，把一个部件的运动传递给另一个部件。
题目与现实如何对应
题目中的轻绳或轻杆对应现实中的钢索与连杆，端点速度对应执行器和负载的运动速度。 当前题目“B组第10题：刚杆连接双滑块”训练的“几何约束建模、机械能极值求解”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[x^2+y^2=l^2,\qquad x\dot x+y\dot y=0,\qquad mgh=\frac12mv_a^2+\frac12mv_b^2\]
更一般的模型关系是：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实绳索会伸长并具有质量。
- 滑轮轴承摩擦会使两侧张力不再严格相等。
带回原题想一想
把“B组第10题：刚杆连接双滑块”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”建立模型。可先使用：
\[x^2+y^2=l^2,\qquad x\dot x+y\dot y=0,\qquad mgh=\frac12mv_a^2+\frac12mv_b^2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[x^2+y^2=l^2,\qquad x\dot x+y\dot y=0,\qquad mgh=\frac12mv_a^2+\frac12mv_b^2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：不等质量刚杆双滑块
质量为 \(m_a\) 的滑块 \(a\) 沿竖直光滑杆运动，质量为 \(m_b\) 的滑块 \(b\) 在光滑水平面运动，两者由长为 \(l\) 的轻杆铰接。初始 \(a\) 高度为 \(h\lt l\)，系统由静止释放。运动中 \(a\) 高度为 \(y\)，\(b\) 到竖杆距离为 \(x\)。（1）写出位置与速度约束；（2）求 \(\dot y^2\) 关于 \(y\) 的表达式；（3）求 \(a\) 落地瞬间两滑块速度；（4）说明杆对 \(b\) 为什么先做正功后做负功。
变式答案
**1. 几何约束**
\[x^2+y^2=l^2,\qquad x\dot x+y\dot y=0\]
故 \(\dot x=-\frac{y}{x}\dot y\)。
**2. 系统机械能守恒**
\[m_ag(h-y)=\frac12m_a\dot y^2+\frac12m_b\dot x^2\]
整理得
\[\dot y^2=\frac{2m_ag(h-y)}{m_a+m_b\dfrac{y^2}{l^2-y^2}}\]
**3. 落地瞬间**
当 \(y=0\) 时，约束给出 \(\dot x=0\)，所以 \(v_b=0\)，而
\[v_a=\sqrt{2gh}\]
该结果与两滑块质量无关。
**4. 杆功方向**
滑块 \(b\) 初末动能都为零，中间动能为正。水平方向只有杆力做功，因此杆先使 \(b\) 动能增加、后使其减少，即先做正功后做负功。
思路提示
**新增难点**
把等质量结论推广到不等质量，并先用几何约束消去一个速度，再用能量方程得到全过程速度函数。
真题拓展
轻绳拉动物块沿斜面匀速上行
高考真题 · 综合迁移
2019年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第3题
该真题与当前题同属“连接体与约束”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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