题目
从高 \(H=4\,\text{m}\) 处的 \(A\) 先后水平抛出两个小球 1 和 2。
球 1 与地面碰撞一次后，恰好越过位于水平地面上高为 \(h\) 的竖直挡板，然后落在水平地面上的 \(D\) 点。碰撞碰后速度水平方向不变，竖直方向等大反向。
球 2 恰好越过挡板，也落在 \(D\) 点。忽略空气阻力，求挡板高度 \(h\)。
选项
- A. \(3.5\,\text{m}\)
- B. \(3\,\text{m}\)
- C. \(2.5\,\text{m}\)
- D. \(2\,\text{m}\)
学习定位
抛体运动与功率
题族：碰撞反弹后的分段抛体
训练能力：碰撞前后状态连接、分段轨迹建模
前置知识：平抛运动、碰撞反弹
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 先设自由下落到地面的时间
从高度 \(H\) 平抛到地面，竖直方向满足 \(H=\frac{1}{2}gT^2\)。球 1 第一次落地到 \(C\) 用时 \(T\)。
2. 看球 1 的水平距离比例
球 1 反弹后竖直速度等大反向，从 \(C\) 再落回地面用时 \(2T\)。因此球 1 从 \(A\to C\) 和 \(C\to D\) 的水平距离之比为 \(1:2\)，所以 \(AC:CD=1:2\)，\(AD=3AC\)。
3. 看球 2 的运动
球 2 从 \(A\) 直接落到 \(D\)，竖直下落仍用时 \(T\)，所以球 2 的水平速度是球 1 的 \(3\) 倍。
4. 挡板顶端两球都恰好越过
设球 1 反弹后经过时间 \(uT\) 到达挡板，则球 1 高度为 \(H(2u-u^2)\)。同一位置对球 2 的时间为 \(\frac{1+u}{3}T\)，高度为 \(H\left[1-\frac{(1+u)^2}{9}\right]\)。两球都恰好越过同一挡板顶端，令两高度相等，解得 \(u=\frac{1}{2}\)。
5. 求高度
代入球 1 高度：\(h=H\left(2\cdot\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{4}H\)。又 \(H=4\,\text{m}\)，所以 \(h=3\,\text{m}\)。
初学者探索过程
从“碰撞反弹后的分段抛体”开始探索
先把“课后作业第12题：反弹过挡板”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课后作业第12题：反弹过挡板”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“碰撞前后状态连接、分段轨迹建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“碰撞前后状态连接”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“分段轨迹建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“碰撞前后状态连接、分段轨迹建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“碰撞反弹后的分段抛体”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“课后作业第12题：反弹过挡板”训练的“碰撞前后状态连接、分段轨迹建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“课后作业第12题：反弹过挡板”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：一般恢复系数下的共同挡板
### 基础设问
两个小球从同一高度水平抛出，一个先撞到竖直挡板反弹后落地，另一个直接越过挡板落地。若两球落到不同点，比较挡板处高度对反弹球轨迹的影响。
### 综合提升
球 1 从高度 \(H\) 水平抛出，落地后水平速度不变、竖直速度按恢复系数 \(e\) 反向；球 2 直接飞到与球 1 相同的落点。设球 1 反弹后经过 \(uT\) 到挡板，\(T=\sqrt{2H/g}\)。（1）求共同落点距离比；（2）写出两球在挡板处的高度；（3）建立求 \(u\) 的方程；（4）由此求挡板高度并检验 \(0
变式答案
### 1. 基础设问
反弹球在挡板处水平速度反向、竖直速度不突变。反弹后的轨迹可看作从挡板处继续做平抛，水平位移方向改变，竖直运动仍由同一个 \(g\) 决定。
### 2. 综合提升
球 1 反弹后的滞空时间为 \(2eT\)，故总水平距离为首次距离的 \(1+2e\) 倍，球 2 水平速度也为球 1 的 \(1+2e\) 倍。挡板处
\[\frac{h_1}{H}=2eu-u^2,\qquad \frac{h_2}{H}=1-\left(\frac{1+u}{1+2e}\right)^2.\]
令两式相等可求 \(u\)，再代回 \(h/H=2eu-u^2\)。只保留满足 \(0
思路提示
### 1. 基础思路
反弹题要分段处理，碰撞只改变水平速度方向；竖直方向的下落时间和速度连续。
### 2. 进阶思路
恢复系数改变反弹后的竖直滞空时间，从而同时改变共同落点速度比和挡板方程；最后必须筛选物理解。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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