题目
从竖直墙的前方 \(A\) 处，沿 \(AO\) 方向水平发射三颗弹丸 \(a、b、c\)，在墙上留下的弹痕如图所示。已知 \(Oa=ab=bc\)，不计空气阻力，则三颗弹丸（ ）。
选项
- A. 初速度之比是 \(\sqrt6:\sqrt3:\sqrt2\)
- B. 初速度之比是 \(1:\sqrt2:\sqrt3\)
- C. 从射出至打到墙上过程速度增量之比是 \(1:\sqrt2:\sqrt3\)
- D. 从射出至打到墙上过程速度增量之比是 \(\sqrt6:\sqrt3:\sqrt2\)
学习定位
抛体运动与功率
题族：平抛运动基本规律
训练能力：运动分解、时间与位移反演
前置知识：匀速直线运动、自由落体
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 确定三段下落高度
令相邻弹痕间距为 \(d\)，则三球下落高度依次为 \(d、2d、3d\)。
2. 比较飞行时间
由 \(y=\frac12gt^2\)，得 \(t_a:t_b:t_c=1:\sqrt2:\sqrt3\)。
3. 比较初速度
墙距 \(L\) 相同，\(v_0=L/t\)，所以 \(v_a:v_b:v_c=\sqrt6:\sqrt3:\sqrt2\)。
4. 比较速度增量
三球均只有重力作用，\(\Delta v=gt\)，故 \(\Delta v_a:\Delta v_b:\Delta v_c=1:\sqrt2:\sqrt3\)，答案为 A、C。
初学者探索过程
从“平抛运动基本规律”开始探索
先把“课上第4题：墙上弹痕比值”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课上第4题：墙上弹痕比值”后，判断为什么“把曲线运动当成一个方向直接套公式”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“运动分解、时间与位移反演”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把曲线运动当成一个方向直接套公式。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[t\propto\sqrt y,\qquad v_0=\frac Lt\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“运动分解”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“时间与位移反演”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[t\propto\sqrt y,\qquad v_0=\frac Lt\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“运动分解、时间与位移反演”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“平抛运动基本规律”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“课上第4题：墙上弹痕比值”训练的“运动分解、时间与位移反演”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[t\propto\sqrt y,\qquad v_0=\frac Lt\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“课上第4题：墙上弹痕比值”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[t\propto\sqrt y,\qquad v_0=\frac Lt\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[t\propto\sqrt y,\qquad v_0=\frac Lt\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：非等距弹痕反演
从同一点水平发射三颗弹丸，它们越过相同水平距离后在墙上的下落高度分别为 \(h、4h、9h\)。求三球的初速度比、速度增量比，并证明三个撞墙速度方向的反向延长线经过同一固定点。
变式答案
**比值**
由 \(t\propto\sqrt y\)，得 \(t_1:t_2:t_3=1:2:3\)，故
\[v_{01}:v_{02}:v_{03}=6:3:2,\qquad \Delta v_1:\Delta v_2:\Delta v_3=1:2:3.\]
**固定点**
撞墙切线斜率为 \(k=v_y/v_x=2y/L\)。切线反向延长到发射高度时均有 \(x=L/2\)，所以共同经过发射点与墙面之间的水平中点。
思路提示
**思路**
先把墙上高度转成飞行时间，再分别使用 \(v_0=L/t\) 和 \(\Delta v=gt\)。固定点部分使用“末速度斜率等于位移平均斜率的两倍”。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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