题目
如图，\(a、b\) 两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度 \(v_0\) 同时水平抛出。半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等且在同一竖直面内，斜面底边长是其竖直高度的 \(2\) 倍。若小球 \(b\) 能落到斜面上，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. \(a、b\) 两球不可能同时落在半圆轨道和斜面上
- B. 改变初速度的大小，\(b\) 球可能垂直撞在斜面上
- C. 改变初速度的大小，\(a\) 球可能垂直撞在半圆轨道上
- D. 改变初速度的大小，\(b\) 球速度方向和斜面的夹角保持不变
学习定位
抛体运动与功率
题族：平抛与斜面相交
训练能力：轨迹几何联立、末速度方向判断
前置知识：平抛方程、斜面几何
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 分析斜面球的落点
以斜面顶端为原点，斜面方程为 \(y=x/2\)。与 \(y=gx^2/(2v_0^2)\) 联立，得非零落点 \(x_b=v_0^2/g\)。
2. 求斜面球的末速度方向
落点时 \(t=x_b/v_0=v_0/g\)，故 \(v_y=gt=v_0=v_x\)，末速度始终与水平成 \(45^\circ\)，与斜面夹角不随 \(v_0\) 改变。
3. 判断两个垂直碰撞选项
斜面倾角为 \(\arctan(1/2)\)，末速度固定为 \(45^\circ\)，不可能垂直撞斜面。对半圆球联立圆方程与径向速度条件，只得到退化的端点条件，运动中也不可能垂直撞轨道。
4. 判断同时落下
存在适当 \(v_0\) 使两球在同一下落高度分别与圆和斜面相交，因此“不可能同时”错误。只有 D 正确。
初学者探索过程
从“平抛与斜面相交”开始探索
先把“A组第7题：半圆轨道与斜面”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A组第7题：半圆轨道与斜面”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“轨迹几何联立、末速度方向判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[x=\frac{8R}{5},\qquad y=\frac{4R}{5},\qquad v_0^2=\frac{8gR}{5}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“轨迹几何联立”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“末速度方向判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[x=\frac{8R}{5},\qquad y=\frac{4R}{5},\qquad v_0^2=\frac{8gR}{5}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“轨迹几何联立、末速度方向判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“平抛与斜面相交”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“A组第7题：半圆轨道与斜面”训练的“轨迹几何联立、末速度方向判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[x=\frac{8R}{5},\qquad y=\frac{4R}{5},\qquad v_0^2=\frac{8gR}{5}\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“A组第7题：半圆轨道与斜面”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[x=\frac{8R}{5},\qquad y=\frac{4R}{5},\qquad v_0^2=\frac{8gR}{5}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[x=\frac{8R}{5},\qquad y=\frac{4R}{5},\qquad v_0^2=\frac{8gR}{5}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：双边界同时碰撞
把原题斜面底边与高度之比改为 \(k:1\)，半圆半径仍等于斜面高度 \(R\)。求两球同时碰到各自边界时的水平位移、下落高度和初速度，并讨论解存在的条件。
变式答案
**共同位移**
斜面方程为 \(y=x/k\)，圆弧满足 \((x-R)^2+y^2=R^2\)。联立得
\[x=\frac{2Rk^2}{k^2+1},\qquad y=\frac{2Rk}{k^2+1}.\]
**初速度**
由 \(y=gx^2/(2v_0^2)\)，
\[v_0^2=\frac{gRk^3}{k^2+1}.\]
对任意 \(k\gt0\) 均有几何解；还需检查落点位于给定有限斜面与下半圆弧范围内。
思路提示
**思路**
同时抛出且初速度大小相同，若同时碰撞，则两球的水平位移大小和竖直下落量都相同。于是先联立两个边界的几何方程，再用平抛轨迹反求初速度。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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