题目
如图所示，一排球运动员将球在边界处正上方水平向右击出，球刚好过网并落在图中位置，不计空气阻力。
已知击球点高度为 \(h_1\)，网高为 \(h_2\)，击球点到网的水平距离为 \(s\)，过网后到落点的水平距离为 \(\frac{s}{2}\)。判断下列说法中正确的是哪些。
选项
- A. \(h_1=1.8h_2\)
- B. 保持击球高度不变，初速度 \(v_0\) 只要不大于某一上限，就一定落在对方界内。
- C. 任意降低击球高度但仍大于 \(h_2\)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内。
- D. 任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内。
- E. 调整 \(h_1\) 与 \(h_2\) 的高度，若垂直底线水平向右击出的球能够擦网而过后直接落到对面底线上，则适当调整发射方向后，仍垂直底线，只要落到对面底线的球一定是擦网而过的。
学习定位
抛体运动与功率
题族：越障与靶面命中
训练能力：临界过障判断、落点反演
前置知识：平抛轨迹、速度方向
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 写出两个关键位置
球从高度 \(h_1\) 水平击出，落到底线时水平位移为 \(x=\frac{3s}{2}\)，过网时水平位移为 \(x=s\)。
2. 落地条件
设初速度为 \(v_0\)，平抛满足 \(x=v_0t\)、\(y=\frac{1}{2}gt^2\)。落地时下落高度为 \(h_1\)，所以 \(h_1=\frac{1}{2}g\left(\frac{3s}{2v_0}\right)^2\)。
3. 过网条件
球刚好过网，说明到 \(x=s\) 时下落高度为 \(h_1-h_2\)，所以 \(h_1-h_2=\frac{1}{2}g\left(\frac{s}{v_0}\right)^2\)。
4. 消去 \(v_0\)
两式相除：\(\frac{h_1-h_2}{h_1}=\frac{s^2}{(3s/2)^2}=\frac{4}{9}\)，因此 \(h_2=\frac{5}{9}h_1\)，即 \(h_1=\frac{9}{5}h_2=1.8h_2\)，A 正确。
5. 判断能否进界
若球仍水平击出，设落点水平位移为 \(R\)。落在对方界内要求 \(s\lt R\le\frac{3s}{2}\)，过网要求在 \(x=s\) 处高度不低于 \(h_2\)。在给定 \(R\le\frac{3s}{2}\) 时，网处最高也只有 \(h_1\left(1-\frac{s^2}{R^2}\right)\le\frac{5}{9}h_1\)。
6. 比较选项
原题刚好满足 \(\frac{5}{9}h_1=h_2\)，所以 A 正确。
7. 判断 B 项
B 错：保持击球高度不变时，速度太小会落在网前，速度太大又会出界；不能只说不大于某一上限。
8. 判断 C 项
C 错：若降低击球高度，则 \(\frac{5}{9}h_1\lt h_2\)，球即使落在底线处，也达不到网高，无法既过网又落在界内。
9. 判断 D 项
D 对：若增加击球高度，则可以选取合适的落点 \(R\)，使 \(s\lt R\le\frac{3s}{2}\)，从而既过网又落在界内。
10. 判断 E 项
E 错：调整发射方向后，轨迹不再由同一个“擦网且落底线”的水平平抛条件唯一决定；落到对面底线不等于一定擦网。
初学者探索过程
从“越障与靶面命中”开始探索
先把“课上第7题：排球过网落点”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课上第7题：排球过网落点”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“临界过障判断、落点反演”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[h_1=\frac12g\left(\frac{3s}{2v_0}\right)^2,\qquad h_1-h_2=\frac12g\left(\frac{s}{v_0}\right)^2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“临界过障判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“落点反演”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[h_1=\frac12g\left(\frac{3s}{2v_0}\right)^2,\qquad h_1-h_2=\frac12g\left(\frac{s}{v_0}\right)^2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“临界过障判断、落点反演”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“越障与靶面命中”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“课上第7题：排球过网落点”训练的“临界过障判断、落点反演”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[h_1=\frac12g\left(\frac{3s}{2v_0}\right)^2,\qquad h_1-h_2=\frac12g\left(\frac{s}{v_0}\right)^2\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“课上第7题：排球过网落点”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[h_1=\frac12g\left(\frac{3s}{2v_0}\right)^2,\qquad h_1-h_2=\frac12g\left(\frac{s}{v_0}\right)^2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[h_1=\frac12g\left(\frac{3s}{2v_0}\right)^2,\qquad h_1-h_2=\frac12g\left(\frac{s}{v_0}\right)^2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：过网与界内落点的可行域
### 基础设问
排球从高度 \(h_1\) 处水平击出，经过水平距离 \(s\) 时刚好擦网，落地点在网后 \(s\) 处。求网高 \(h_2\) 与 \(h_1\) 的关系。
### 综合提升
击球点高 \(h\)，网高 \(h_n\)，球网距击球点 \(s\)，对方底线距击球点 \(S>s\)。（1）求水平击球能够过网且落在 \([s,S]\) 内的初速度区间；（2）求该区间非空的高度条件；（3）找出恰好擦网又落底线的临界；（4）讨论提高击球点对可行域的影响。
变式答案
### 1. 基础设问
落地总水平距离为 \(2s\)，擦网时距离为 \(s\)。竖直下落量与水平距离平方成正比，所以 \(h_1-h_2=\frac14h_1\)，得 \(h_2=\frac34h_1\)。
### 2. 综合提升
落地射程 \(R=v_0\sqrt{2h/g}\)，界内要求 \(s
\[h-\frac{gs^2}{2v_0^2}\ge h_n.\]
因此速度下限取“过网下限”和“落过网后下限”的较大者，上限由底线给出。恰好擦网且落底线时
\[h-h_n=\frac{gs^2}{2v_0^2},\qquad h=\frac{gS^2}{2v_0^2},\]
故 \((h-h_n)/h=s^2/S^2\)。
思路提示
### 1. 基础思路
同一条平抛轨迹上，竖直下落量 \(y\propto t^2\propto x^2\)。比较两个位置的水平距离平方即可。
### 2. 进阶思路
把过网和落点写成同一变量 (v_0) 的不等式，再求交集；可行域非空本身就是新的临界条件。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料