题目
如图，\(A、B\) 两质点从同一点 \(O\) 分别以相同的水平速度 \(v_0\) 沿 \(x\) 轴正方向抛出。\(A\) 在竖直平面内运动，落地点为 \(P_1\)；\(B\) 沿光滑斜面运动，落地点为 \(P_2\)。\(P_1、P_2\) 在同一水平地面上，不计阻力。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. \(A、B\) 的运动时间相同
- B. \(A、B\) 沿 \(x\) 轴方向的位移相同
- C. \(A、B\) 运动过程中的加速度大小相同
- D. \(A、B\) 落地时速度大小相同
学习定位
抛体运动与功率
题族：平抛与斜面相交
训练能力：轨迹几何联立、末速度方向判断
前置知识：平抛方程、斜面几何
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 比较到达地面的时间
设竖直高度差为 \(H\)、斜面倾角为 \(\theta\)。平抛球 \(A\) 的时间为 \(t_A=\sqrt{2H/g}\)；斜面球沿斜面下滑距离为 \(H/\sin\theta\)，加速度为 \(g\sin\theta\)，故 \(t_B=t_A/\sin\theta\)。
2. 比较水平位移与加速度
两球沿 \(x\) 方向均做匀速运动，但 \(t_B\gt t_A\)，所以 \(x_B\gt x_A\)。加速度大小分别为 \(g\) 与 \(g\sin\theta\)，也不相同。
3. 利用机械能比较末速度
两球初速度相同、下降高度相同，且均无耗散力做功，因此末速度均满足 \(v^2=v_0^2+2gH\)。
4. 结论
A、B、C 均错误，只有 D 正确。
初学者探索过程
从“平抛与斜面相交”开始探索
先把“课上第9题：平抛与光滑斜面比较”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课上第9题：平抛与光滑斜面比较”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“轨迹几何联立、末速度方向判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[t_A=\sqrt{\frac{2H}{g}},\qquad t_B=\frac{t_A}{\sin\theta}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“轨迹几何联立”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“末速度方向判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[t_A=\sqrt{\frac{2H}{g}},\qquad t_B=\frac{t_A}{\sin\theta}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“轨迹几何联立、末速度方向判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“平抛与斜面相交”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“课上第9题：平抛与光滑斜面比较”训练的“轨迹几何联立、末速度方向判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[t_A=\sqrt{\frac{2H}{g}},\qquad t_B=\frac{t_A}{\sin\theta}\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“课上第9题：平抛与光滑斜面比较”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[t_A=\sqrt{\frac{2H}{g}},\qquad t_B=\frac{t_A}{\sin\theta}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[t_A=\sqrt{\frac{2H}{g}},\qquad t_B=\frac{t_A}{\sin\theta}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：斜面时间与落点反演
高度为 \(H\) 的光滑斜面倾角为 \(\theta\)。质点 \(A\) 做平抛，质点 \(B\) 以相同水平初速度沿该斜面运动。若测得 \(x_B=2x_A\)，求 \(\theta\)，并比较二者落地速度的方向和大小。
变式答案
**求倾角**
由 \(x_B/x_A=t_B/t_A=1/\sin\theta=2\)，得
\[\sin\theta=\frac12,\qquad \theta=30^\circ.\]
**末速度**
两球下降高度相同，故速度大小相等，均为 \(\sqrt{v_0^2+2gH}\)。但 \(A\) 的末速度位于竖直平面内，\(B\) 的重力增速分量沿斜面最陡方向，二者方向不同。
思路提示
**思路**
水平分运动没有加速度，位移比就是运动时间比；再由斜面运动时间 \(t_B=t_A/\sin\theta\) 反求倾角。末速度大小用机械能统一处理，方向则必须回到各自约束。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料