题目
固定斜面 \(PO\)、\(QO\) 与水平面 \(MN\) 的夹角均为 \(45^\circ\)。由 \(A\) 点分别以 \(v_1\)、\(v_2\) 先后沿水平方向抛出两个小球，不计空气阻力。
以 \(v_1\) 抛出的小球恰能垂直于 \(QO\) 落于 \(C\) 点，飞行时间为 \(t\)；以 \(v_2\) 抛出的小球落在 \(PO\) 斜面上的 \(B\) 点，且 \(B\)、\(C\) 在同一水平面上。
**判断：**
选项
- A. 落于 \(B\) 点的小球飞行时间为 \(t\)
- B. \(v_2=gt\)
- C. 落于 \(C\) 点的小球的水平位移为 \(gt^2\)
- D. \(A\) 点距水平面 \(MN\) 的高度为 \(\frac{3}{4}gt^2\)
学习定位
抛体运动与功率
题族：平抛与斜面相交
训练能力：轨迹几何联立、末速度方向判断
前置知识：平抛方程、斜面几何
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参考答案
分步解析
1. 先看落于 \(C\) 的小球
末速度垂直 \(QO\)，而 \(QO\) 与水平面夹角为 \(45^\circ\)，所以末速度方向满足 \(\frac{v_y}{v_x}=1\)。又 \(v_y=gt\)、\(v_x=v_1\)，得 \(v_1=gt\)。因此 \(C\) 点水平位移 \(x_C=v_1t=gt^2\)，C 正确。
2. 再看落于 \(B\) 的小球
\(B\)、\(C\) 在同一水平面上，两球竖直下落高度相同，所以飞行时间相同，都是 \(t\)，A 正确。
3. 求落于 B 点小球的初速度
\(B\) 点在 \(PO\) 上，且 \(PO\) 为 \(45^\circ\) 斜面，因此 \(x_B=y_B\)。竖直方向 \(y_B=\frac{1}{2}gt^2\)，所以 \(v_2=\frac{x_B}{t}=\frac{1}{2}gt\)，B 错误。
4. 最后看高度
由图中 \(45^\circ\) 几何关系，\(O\) 点相对 \(A\) 的水平、竖直距离均为 \(\frac{3}{4}gt^2\)，所以 \(A\) 点距水平面 \(MN\) 的高度为 \(\frac{3}{4}gt^2\)，D 正确。
初学者探索过程
从“平抛与斜面相交”开始探索
先把“课上第3题：垂直打到斜面”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课上第3题：垂直打到斜面”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“轨迹几何联立、末速度方向判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v_y=gt,\qquad \frac{v_y}{v_x}=\tan45^\circ,\qquad y=\frac12gt^2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“轨迹几何联立”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“末速度方向判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v_y=gt,\qquad \frac{v_y}{v_x}=\tan45^\circ,\qquad y=\frac12gt^2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“轨迹几何联立、末速度方向判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“平抛与斜面相交”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“课上第3题：垂直打到斜面”训练的“轨迹几何联立、末速度方向判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v_y=gt,\qquad \frac{v_y}{v_x}=\tan45^\circ,\qquad y=\frac12gt^2\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“课上第3题：垂直打到斜面”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[v_y=gt,\qquad \frac{v_y}{v_x}=\tan45^\circ,\qquad y=\frac12gt^2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v_y=gt,\qquad \frac{v_y}{v_x}=\tan45^\circ,\qquad y=\frac12gt^2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：任意斜面角的垂直命中
### 基础设问
小球水平抛出后落到倾角为 \(30^\circ\) 的斜面上，落点速度方向与斜面垂直。求落点时 \(v_y/v_x\)。
### 综合提升
小球水平抛出，经过时间 \(t\) 垂直撞上与水平夹角为 \(\theta\) 的斜面。（1）求水平初速度；（2）求撞击点的水平、竖直位移；（3）若另一球落到同一高度的另一斜面，证明两球飞行时间关系；（4）讨论 \(\theta\to0\) 与 \(\theta\to90^\circ\) 的极限。
变式答案
### 1. 基础设问
斜面方向与水平夹角为 \(30^\circ\)，垂直斜面的速度方向与水平夹角为 \(60^\circ\)，所以 \(\frac{v_y}{v_x}=\tan60^\circ=\sqrt3\)。
### 2. 综合提升
垂直斜面意味着速度方向与水平夹角为 \(90^\circ-\theta\)，所以
\[\frac{gt}{v_0}=\cot\theta,\qquad v_0=gt\tan\theta.\]
位移为 \(x=v_0t=gt^2\tan\theta\)、\(y=gt^2/2\)。水平抛出的两球只要竖直下落高度相同，飞行时间就相同，与水平运动无关。
思路提示
### 1. 基础思路
垂直打斜面不是只看落点在斜面上，还要让速度方向与斜面法线一致。
### 2. 进阶思路
把法线方向先转成速度分量比，再用竖直分运动锁定时间；等高条件只由竖直方向决定。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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