题目
如图所示，窗子上下沿间的高度 \(H=1.6\,\mathrm{m}\)，墙的厚度 \(d=0.4\,\mathrm{m}\)。某人与离墙壁距离 \(L=1.4\,\mathrm{m}\)，在距窗子上沿 \(h=0.2\,\mathrm{m}\) 处的 \(P\) 点，将可视为质点的小物件以速度 \(v\) 水平抛出。
要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，问可以实现上述要求的速度大小是哪一个？
选项
- A. \(2\,\mathrm{m/s}\)
- B. \(4\,\mathrm{m/s}\)
- C. \(8\,\mathrm{m/s}\)
- D. \(10\,\mathrm{m/s}\)
学习定位
抛体运动与功率
题族：平抛穿越有限区域
训练能力：区间边界判断、临界初速度求解
前置知识：平抛方程、不等式
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参考答案
分步解析
1. 建立判断区间
以 \(P\) 点为原点，水平向墙为 \(x\) 正方向，竖直向下为 \(y\) 正方向。窗户上沿比 \(P\) 点低 \(h\)，下沿比 \(P\) 点低 \(h+H\)，所以穿窗允许区间是 \(h\le y\le h+H\)，即 \(0.2\le y\le1.8\)。
2. 写出平抛方程
水平方向 \(x=vt\)，竖直方向 \(y=\frac{1}{2}gt^2\)。因此到达墙前表面 \(x=L\) 时 \(y_1=\frac{1}{2}g\left(\frac{L}{v}\right)^2\)；到达墙后表面 \(x=L+d\) 时 \(y_2=\frac{1}{2}g\left(\frac{L+d}{v}\right)^2\)。
3. 同时满足两端条件
小物件要穿过有厚度的墙，必须满足 \(0.2\le y_1\le1.8\) 且 \(0.2\le y_2\le1.8\)。
4. 代入选项
取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。当 \(v=4\,\mathrm{m/s}\) 时，\(y_1=\frac{1}{2}\cdot10\left(\frac{1.4}{4}\right)^2\approx0.61\,\mathrm{m}\)，\(y_2=\frac{1}{2}\cdot10\left(\frac{1.8}{4}\right)^2\approx1.01\,\mathrm{m}\)，都在 \([0.2,1.8]\) 内。
5. 排除其它速度
\(v=2\,\mathrm{m/s}\) 时下落过多，会低于窗口；\(v=8\,\mathrm{m/s}\)、\(10\,\mathrm{m/s}\) 时下落不足，会高于窗口。
初学者探索过程
从“平抛穿越有限区域”开始探索
先把“课上第6题：平抛穿窗”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课上第6题：平抛穿窗”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“区间边界判断、临界初速度求解”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“区间边界判断”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“临界初速度求解”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“区间边界判断、临界初速度求解”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“平抛穿越有限区域”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“课上第6题：平抛穿窗”训练的“区间边界判断、临界初速度求解”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“课上第6题：平抛穿窗”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：厚墙窗口的速度可行域
### 基础设问
小球从距墙 \(L=2.0\,\mathrm{m}\) 处水平抛出，墙厚 \(d=0.5\,\mathrm{m}\)，窗口允许下落高度为 \(0.3\sim1.5\,\mathrm{m}\)。判断速度 \(v=5\,\mathrm{m/s}\) 能否穿过窗口，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。
### 综合提升
抛出点距墙前表面 \(L\)，墙厚 \(d\)，窗口相对抛出点允许下落区间为 \([h_1,h_2]\)。（1）推导能穿过窗口的初速度区间；（2）加入安全余量 \(\delta\) 后重新作答；（3）判断哪一个截面控制速度下限、哪一个控制上限；（4）讨论窗口无厚度时的退化结果。
变式答案
### 1. 基础设问
前表面下落 \(y_1=\frac12g\left(\frac{2.0}{5}\right)^2=0.8\,\mathrm{m}\)，后表面下落 \(y_2=\frac12g\left(\frac{2.5}{5}\right)^2=1.25\,\mathrm{m}\)，都在允许区间内，所以能穿过。
### 2. 综合提升
前、后表面下落量分别为 \(gL^2/(2v^2)\)、\(g(L+d)^2/(2v^2)\)。单调性给出最紧约束
\[\sqrt{\frac{g(L+d)^2}{2h_2}}\le v\le\sqrt{\frac{gL^2}{2h_1}}.\]
有安全余量时把允许区间改为 \([h_1+\delta,h_2-\delta]\)。后表面控制下限，前表面控制上限；令 \(d=0\) 即退化为薄墙窗口。
思路提示
### 1. 基础思路
厚墙问题要检查两个截面：入口和出口。只检查墙前表面，会漏掉出口处是否碰下沿。
### 2. 进阶思路
不逐个试速度，直接利用下落量随 (x) 增大、随 (v) 减小的单调性建立速度可行区间。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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