题目
如图为湖边一倾角为 \(30^\circ\) 的大坝横截面示意图，水面与大坝的交点为 \(O\)。一人站在 \(A\) 点处以速度 \(v_0\) 沿水平方向扔小石块。已知 \(AO=40\mathrm m\)，\(g=10\mathrm{m/s^2}\)，忽略人的身高，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 若 \(v_0\gt10\sqrt3\mathrm{m/s}\)，则石块一定落入水中
- B. 若 \(v_0\lt5\sqrt3\mathrm{m/s}\)，则石块可能落入水中
- C. 若石块能落入水中，则 \(v_0\) 越大，落水时速度方向与水平面的夹角越大
- D. 若石块不能落入水中，则石块落到斜面上时速度方向与斜面的夹角与 \(v_0\) 无关
学习定位
抛体运动与功率
题族：平抛与斜面相交
训练能力：轨迹几何联立、末速度方向判断
前置知识：平抛方程、斜面几何
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 求坝脚的水平和竖直坐标
\(AO=40\mathrm m\)、倾角 \(30^\circ\)，故坝脚相对 \(A\) 的水平距离为 \(20\sqrt3\mathrm m\)，竖直落差为 \(20\mathrm m\)。
2. 求越过坝脚的临界初速度
平抛轨迹为 \(y=gx^2/(2v_0^2)\)。令轨迹恰过 \(O\)，得到 \(20=10(20\sqrt3)^2/(2v_0^2)\)，即 \(v_c=10\sqrt3\mathrm{m/s}\)。
3. 分析入水速度角
能入水时竖直落差固定为 \(20\mathrm m\)，所以 \(v_y=20\mathrm{m/s}\) 不变；\(v_0\) 越大，\(\tan\beta=v_y/v_0\) 越小。
4. 分析撞坝速度角
撞坝时 \(\frac12gt^2=v_0t\tan30^\circ\)，故 \(v_y=2v_0\tan30^\circ\)，速度方向与斜面的夹角为常量。答案为 A、D。
初学者探索过程
从“平抛与斜面相交”开始探索
先把“A组第2题：斜坡抛石入水”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A组第2题：斜坡抛石入水”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“轨迹几何联立、末速度方向判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v_c=\sqrt{\frac{gx_O^2}{2y_O}}=10\sqrt3\,\mathrm{m/s}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“轨迹几何联立”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“末速度方向判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v_c=\sqrt{\frac{gx_O^2}{2y_O}}=10\sqrt3\,\mathrm{m/s}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“轨迹几何联立、末速度方向判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“平抛与斜面相交”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“A组第2题：斜坡抛石入水”训练的“轨迹几何联立、末速度方向判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v_c=\sqrt{\frac{gx_O^2}{2y_O}}=10\sqrt3\,\mathrm{m/s}\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“A组第2题：斜坡抛石入水”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[v_c=\sqrt{\frac{gx_O^2}{2y_O}}=10\sqrt3\,\mathrm{m/s}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v_c=\sqrt{\frac{gx_O^2}{2y_O}}=10\sqrt3\,\mathrm{m/s}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：有限斜坡与水面临界
一斜坡长为 \(S\)、倾角为 \(\theta\)，坡脚连接水平水面。质点从坡顶以水平速度 \(v_0\) 抛出。求越过坡脚的最小速度；若 \(v_0\) 小于临界值，证明质点撞坡时速度方向与斜面的夹角不随 \(v_0\) 改变。
变式答案
**临界速度**
坡脚坐标为 \(x=S\cos\theta\)、\(y=S\sin\theta\)，因此
\[v_c=\sqrt{\frac{gx^2}{2y}}=\cos\theta\sqrt{\frac{gS}{2\sin\theta}}.\]
**撞坡角**
撞坡时 \(\frac12gt^2=v_0t\tan\theta\)，故 \(v_y/v_x=gt/v_0=2\tan\theta\)。末速度角为 \(\arctan(2\tan\theta)\)，与斜面的夹角只由 \(\theta\) 决定。
思路提示
**思路**
临界问题用轨迹恰过坡脚；撞坡问题不要先求具体落点，直接联立 \(y=x\tan\theta\) 与平抛分运动方程即可消去 \(v_0\)。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料