题目
如图，装满水的圆柱形水瓶竖直放在水平地面上，在侧壁钻几个截面积一样的小孔。水流从小孔中水平射出的初速度满足 \(v_0=\sqrt{2gh}\)，其中 \(h\) 为小孔距液面的高度。不计一切阻力，且不考虑水流引起的液面高度变化。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 水落地时的瞬时速率与小孔位置有关
- B. 若小孔位置越高，则水的落地点越远
- C. 若小孔位置越高，则在空中的水柱体积越大
- D. 若水的落地点越远，则空中的水柱体积越大
学习定位
抛体运动与功率
题族：液体射流的抛体模型
训练能力：跨模型公式连接、射程极值分析
前置知识：平抛运动、流速公式
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 建立孔深与孔高
设总水深为 \(H\)，孔深为 \(h\)，则小孔离地高度为 \(H-h\)。
2. 求射程
出水速度 \(v_0=\sqrt{2gh}\)，落地时间 \(t=\sqrt{2(H-h)/g}\)，故射程 \(x=2\sqrt{h(H-h)}\)。
3. 求落地速率
\(v^2=v_0^2+2g(H-h)=2gh+2g(H-h)=2gH\)，与小孔位置无关。
4. 比较空中水柱体积
单位时间流量 \(Q=S_0v_0\)，空中水柱体积 \(V=Qt=2S_0\sqrt{h(H-h)}=S_0x\)。射程越远，体积越大，答案为 D。
初学者探索过程
从“液体射流的抛体模型”开始探索
先把“A组第6题：水瓶侧孔射流”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A组第6题：水瓶侧孔射流”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“跨模型公式连接、射程极值分析”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v^2=2gh+2g(H-h)=2gH\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“跨模型公式连接”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“射程极值分析”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v^2=2gh+2g(H-h)=2gH\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“跨模型公式连接、射程极值分析”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“液体射流的抛体模型”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“A组第6题：水瓶侧孔射流”训练的“跨模型公式连接、射程极值分析”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v^2=2gh+2g(H-h)=2gH\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“A组第6题：水瓶侧孔射流”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[v^2=2gh+2g(H-h)=2gH\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v^2=2gh+2g(H-h)=2gH\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：两孔同射程与最大流柱
高为 \(H\) 的水箱侧壁有两个等面积小孔，孔深分别为 \(h_1、h_2\)。若两股水流落在同一点，证明 \(h_1+h_2=H\)，并求使空中水柱体积最大的孔位。
变式答案
**同射程条件**
\[h_1(H-h_1)=h_2(H-h_2).\]
若两孔不同，整理得 \(h_1+h_2=H\)。
**最大体积**
由于 \(V=2S_0\sqrt{h(H-h)}\)，乘积在 \(h=H/2\) 时最大，所以最优孔位位于液面与地面的中点。
思路提示
**思路**
射程和空中体积都由同一个乘积 \(h(H-h)\) 控制。先利用二次函数的对称性处理同射程，再利用均值不等式求最大值。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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