题目
2022 年北京冬奥会跳台滑雪项目的比赛场地别具一格，形似“如意”。运动员由赛道上一定高度处滑下，由 \(O\) 点沿水平方向飞出，经过时间 \(t\) 后落在倾角为 \(\alpha\) 的倾斜轨道上的 \(A\) 点。假设运动员可视为质点，\(O、A\) 间视为直道，空气阻力不计，重力加速度为 \(g\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 运动员在 \(A\) 点时的速度与水平方向的夹角为 \(2\alpha\)
- B. 如果离开 \(O\) 点的速度减半，则运动员落在 \(OA\) 的中点
- C. 运动员落在 \(A\) 点时的速度为 \(\frac{gt}{2\tan\alpha}\sqrt{1+4\tan^2\alpha}\)
- D. 整个过程中，运动员距倾斜轨道的最大距离为 \(\frac{gt^2\cos\alpha}{8}\)
学习定位
抛体运动与功率
题族：平抛与斜面相交
训练能力：轨迹几何联立、末速度方向判断
前置知识：平抛方程、斜面几何
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 用斜面落点条件求时间关系
落点满足 \(\frac12gt^2=v_0t\tan\alpha\)，所以 \(v_0=gt/(2\tan\alpha)\)。
2. 求末速度
\(v_x=v_0\)、\(v_y=gt\)，故 \(v_A=\sqrt{v_0^2+g^2t^2}=\frac{gt}{2\tan\alpha}\sqrt{1+4\tan^2\alpha}\)。
3. 分析速度减半后的落点
落斜面水平距离 \(x=2v_0^2\tan\alpha/g\)，与 \(v_0^2\) 成正比。速度减半后落点水平距离变为原来的 \(1/4\)，不是中点。
4. 求最大法向距离
到斜面的垂直距离为 \(d=v_0\tau\sin\alpha-\frac12g\tau^2\cos\alpha\)。该二次函数在 \(\tau=t/2\) 最大，代入得 \(d_{\max}=gt^2\cos\alpha/8\)。答案为 C、D。
初学者探索过程
从“平抛与斜面相交”开始探索
先把“B组第11题：跳台滑雪斜面”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B组第11题：跳台滑雪斜面”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“轨迹几何联立、末速度方向判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\tan\beta=\frac{gt}{v_0}=2\tan\alpha\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“轨迹几何联立”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“末速度方向判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\tan\beta=\frac{gt}{v_0}=2\tan\alpha\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“轨迹几何联立、末速度方向判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“平抛与斜面相交”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“B组第11题：跳台滑雪斜面”训练的“轨迹几何联立、末速度方向判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\tan\beta=\frac{gt}{v_0}=2\tan\alpha\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“B组第11题：跳台滑雪斜面”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[\tan\beta=\frac{gt}{v_0}=2\tan\alpha\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\tan\beta=\frac{gt}{v_0}=2\tan\alpha\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：任意时刻法向间距
质点从斜面顶端以水平速度 \(v_0\) 抛出并重新落到倾角为 \(\alpha\) 的无限长斜面。求飞行时间、沿斜面的落点距离、距斜面的最大法向距离，并证明最大距离发生在飞行时间中点。
变式答案
**飞行时间与落点**
\[T=\frac{2v_0\tan\alpha}{g},\qquad s=\frac{x}{\cos\alpha}=\frac{2v_0^2\sin\alpha}{g\cos^2\alpha}.\]
**最大法向距离**
\[d(\tau)=v_0\tau\sin\alpha-\frac12g\tau^2\cos\alpha.\]
令导数为零得 \(\tau=v_0\tan\alpha/g=T/2\)，并有
\[d_{\max}=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g\cos\alpha}=\frac{gT^2\cos\alpha}{8}.\]
思路提示
**思路**
不要把“距斜面”误作竖直高度。把位置矢量投影到斜面法向，得到一个关于时间的二次函数；落地的两个零点是 \(0、T\)，因此顶点自然位于 \(T/2\)。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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