题目
如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心 \(O\) 点，分别以水平速度 \(v_1\)、\(v_2\) 抛出两个小球。小球可视为质点，最终它们分别落在圆弧上的 \(A\) 点和 \(B\) 点。
已知 \(OA\perp OB\)，且 \(OA\) 与竖直方向成 \(\alpha\) 角，求两小球初速度之比 \(\frac{v_1}{v_2}\)。
选项
- A. \(\tan\alpha\)
- B. \(\cos\alpha\)
- C. \(\tan\alpha\sqrt{\tan\alpha}\)
- D. \(\cos\alpha\sqrt{\cos\alpha}\)
学习定位
抛体运动与功率
题族：平抛与圆弧相交
训练能力：圆坐标约束、速度方向反演
前置知识：平抛方程、圆的几何
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 建立坐标
以 \(O\) 为原点，向右为 \(x\) 正方向、向下为 \(y\) 正方向，设半圆半径为 \(R\)。
2. 读出 \(A\)、\(B\) 坐标
原题给出 \(OA\) 与竖直方向夹角为 \(\alpha\)，且 \(OA\perp OB\)。按题图方向，\(A\) 点在左下方，坐标为 \(A(-R\sin\alpha,\;R\cos\alpha)\)；\(B\) 点在右下方，坐标为 \(B(R\cos\alpha,\;R\sin\alpha)\)。
3. 由竖直方向求时间
平抛竖直方向满足 \(y=\frac{1}{2}gt^2\)，所以 \(t_A=\sqrt{\frac{2R\cos\alpha}{g}}\)，\(t_B=\sqrt{\frac{2R\sin\alpha}{g}}\)。
4. 由水平方向求初速度
水平方向满足 \(x=vt\)，求速度大小时用水平位移的绝对值，所以 \(v_1=\frac{R\sin\alpha}{t_A}\)，\(v_2=\frac{R\cos\alpha}{t_B}\)。
5. 求比值
两式相除：\(\frac{v_1}{v_2}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\sqrt{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}=\tan\alpha\sqrt{\tan\alpha}\)。
初学者探索过程
从“平抛与圆弧相交”开始探索
先把“课上第5题：平抛落圆弧”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“课上第5题：平抛落圆弧”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“圆坐标约束、速度方向反演”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“圆坐标约束”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“速度方向反演”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“圆坐标约束、速度方向反演”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“平抛与圆弧相交”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“课上第5题：平抛落圆弧”训练的“圆坐标约束、速度方向反演”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“课上第5题：平抛落圆弧”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：圆弧任意两点的平抛速度比
### 基础设问
小球从半圆容器边缘水平抛出，落到圆弧上一点。已知该点相对抛出点的水平位移和竖直下落量，求初速度。
### 综合提升
从圆心水平抛出两球，分别落在圆弧上坐标为 \((x_1,y_1)\)、\((x_2,y_2)\) 的两点，取竖直向下为正。（1）推导初速度比的一般式；（2）把坐标改写成圆心角参数；（3）讨论两半径互相垂直时的化简；（4）由测得的速度比反求角度。
变式答案
### 1. 基础设问
由圆几何先读出落点坐标 \((x,y)\)，平抛满足 \(y=\frac12gt^2\)、\(x=v_0t\)，所以 \(t=\sqrt{2y/g}\)，\(v_0=x/t\)。
### 2. 综合提升
每个落点满足
\[t_i=\sqrt{\frac{2y_i}{g}},\qquad v_i=\frac{|x_i|}{t_i}.\]
因此
\[\frac{v_1}{v_2}=\frac{|x_1|}{|x_2|}\sqrt{\frac{y_2}{y_1}}.\]
再用 \(x_i=R\sin\theta_i\)、\(y_i=R\cos\theta_i\) 代入即可得到角度式；互相垂直时加入 \(\theta_1+\theta_2=90^\circ\) 化简。
思路提示
### 1. 基础思路
圆弧题先把几何点转成坐标，再套平抛分轴方程。
### 2. 进阶思路
先保留一般坐标公式，再施加圆几何约束；这样同一方法能覆盖任意角距，而不是只记一个特殊比值。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料