题目
如图，两小球 \(M、N\) 从同一高度同时分别以 \(v_1、v_2\) 的初速度水平抛出，经过时间 \(t\) 都落在倾角 \(\theta=37^\circ\) 的斜面上的 \(A\) 点，其中小球 \(N\) 垂直打到斜面上。已知 \(\sin37^\circ=0.6\)、\(\cos37^\circ=0.8\)，则（ ）。
选项
- A. 初速度 \(v_1、v_2\) 大小之比为 \(9:8\)
- B. 初速度 \(v_1、v_2\) 大小之比为 \(8:9\)
- C. 若 \(v_1、v_2\) 都变为原来的 \(2\) 倍，则两球在空中相遇，从抛出到相遇经过的时间为 \(t/2\)
- D. 若 \(v_1、v_2\) 都变为原来的 \(2\) 倍，则两球在空中相遇，从抛出到相遇经过的时间为 \(t/4\)
学习定位
抛体运动与功率
题族：平抛与斜面相交
训练能力：轨迹几何联立、末速度方向判断
前置知识：平抛方程、斜面几何
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由斜面几何求 \(v_1\)
两球下落高度为 \(y=\frac12gt^2\)。\(M\) 点到 \(A\) 的水平距离为 \(y\cot\theta\)，所以 \(v_1=\frac12gt\cot\theta\)。
2. 由垂直碰撞求 \(v_2\)
\(N\) 垂直打到斜面，末速度与水平夹角为 \(90^\circ-\theta\)，故 \(gt/v_2=\cot\theta\)，即 \(v_2=gt\tan\theta\)。
3. 求初速度比
\(v_1/v_2=\frac12\cot^2\theta\)。代入 \(\tan37^\circ=3/4\)，得到 \(v_1:v_2=8:9\)。
4. 分析速度加倍后的相遇
原来两球的水平间距为 \((v_1+v_2)t\)。两速度同时加倍后相对速度也加倍，因此相遇时间为 \(t/2\)。答案为 B、C。
初学者探索过程
从“平抛与斜面相交”开始探索
先把“A组第8题：双球同落斜面”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A组第8题：双球同落斜面”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“轨迹几何联立、末速度方向判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\frac{v_1}{v_2}=\frac12\cot^2\theta=\frac89\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“轨迹几何联立”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“末速度方向判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\frac{v_1}{v_2}=\frac12\cot^2\theta=\frac89\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“轨迹几何联立、末速度方向判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“平抛与斜面相交”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“A组第8题：双球同落斜面”训练的“轨迹几何联立、末速度方向判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\frac{v_1}{v_2}=\frac12\cot^2\theta=\frac89\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“A组第8题：双球同落斜面”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[\frac{v_1}{v_2}=\frac12\cot^2\theta=\frac89\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\frac{v_1}{v_2}=\frac12\cot^2\theta=\frac89\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：任意倾角与任意倍率
保持原题几何条件，把斜面倾角改为 \(\theta\)。先求 \(v_1/v_2\)。若两初速度同时乘以倍率 \(k\gt1\)，求两球相遇时间，并判断相遇发生在落地前的条件。
变式答案
**速度比**
\[\frac{v_1}{v_2}=\frac12\cot^2\theta.\]
**相遇时间**
原水平间距为 \((v_1+v_2)t\)，新相对速度为 \(k(v_1+v_2)\)，所以
\[t_m=\frac{t}{k}.\]
只要 \(k\gt1\)，就有 \(t_m\lt t\)，相遇发生在原落点高度以上。
思路提示
**思路**
第一问分别使用“位移在斜面上”和“末速度垂直斜面”两个不同约束。第二问利用两球竖直运动完全相同，把二维相遇化成一维水平相对运动。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
查看题目资料