题目
图中为某通关游戏的示意图。竖直面内半圆弧 \(BCD\) 的直径 \(BD\) 水平，且与竖直轨道 \(AB\) 处在同一竖直面内。小孔 \(P\) 和圆心 \(O\) 的连线与水平方向夹角为 \(37^\circ\)。安装在轨道 \(AB\) 上的弹射器可上下移动，能水平射出速度大小可调的弹丸，弹丸射出口在 \(B\) 点正上方。若弹丸垂直于 \(P\) 点圆弧切线方向射入小孔 \(P\) 即通关。某次弹射器从离 \(B\) 点 \(0.15\mathrm m\) 的高度将弹丸射出，正好通关。不计空气阻力，取 \(\sin37^\circ=0.6\)、\(\cos37^\circ=0.8\)、\(g=10\mathrm{m/s^2}\)。圆弧半径和弹丸初速度分别为（ ）。
选项
- A. \(2\mathrm m，4\sqrt3\mathrm{m/s}\)
- B. \(1.5\mathrm m，4\sqrt3\mathrm{m/s}\)
- C. \(2\mathrm m，2\sqrt6\mathrm{m/s}\)
- D. \(1.5\mathrm m，2\sqrt6\mathrm{m/s}\)
学习定位
抛体运动与功率
题族：平抛与圆弧相交
训练能力：圆坐标约束、速度方向反演
前置知识：平抛方程、圆的几何
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 写出 \(P\) 点几何坐标
以 \(B\) 为水平基准，\(P\) 相对 \(B\) 的水平距离为 \(x=R(1+\cos37^\circ)=1.8R\)，向下距离为 \(0.6R\)。从射口到 \(P\) 的总下落量为 \(0.15+0.6R\)。
2. 使用径向入孔条件
速度垂直圆弧切线，说明末速度沿 \(OP\)，故 \(v_y/v_x=\tan37^\circ=3/4\)。平抛又满足 \(y=\frac12x(v_y/v_x)\)。
3. 求半径
代入得 \(0.15+0.6R=\frac12\times1.8R\times0.75=0.675R\)，所以 \(R=2\mathrm m\)。
4. 求初速度
此时 \(x=3.6\mathrm m\)、下落量 \(1.35\mathrm m\)。由 \(y=gx^2/(2v_0^2)\)，得 \(v_0=4\sqrt3\mathrm{m/s}\)。答案为 A。
初学者探索过程
从“平抛与圆弧相交”开始探索
先把“B组第10题：半圆小孔通关”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B组第10题：半圆小孔通关”后，判断为什么“把轨迹方向误当成恒定的受力方向”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“圆坐标约束、速度方向反演”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把轨迹方向误当成恒定的受力方向。
检查这个想法：先执行：先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[h+R\sin\phi=\frac12R(1+\cos\phi)\tan\phi\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“圆坐标约束”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“速度方向反演”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[h+R\sin\phi=\frac12R(1+\cos\phi)\tan\phi\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“圆坐标约束、速度方向反演”如何受条件变化控制。
现实同构案例
球类轨迹与抛投定位：现实中的“平抛与圆弧相交”
现实场景
篮球投篮、消防水流和物资抛投都需要由初速度、方向和落差预测轨迹。
题目与现实如何对应
题目中的抛体对应球、水滴或物资，初速度和落点约束对应现实中的发射条件与目标区域。 当前题目“B组第10题：半圆小孔通关”训练的“圆坐标约束、速度方向反演”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[h+R\sin\phi=\frac12R(1+\cos\phi)\tan\phi\]
更一般的模型关系是：
\[x=v_{0x}t,\qquad y=v_{0y}t+\frac12gt^2\]
忽略空气阻力时，水平和竖直分运动共享同一时间，竖直加速度始终为重力加速度，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力会缩短射程并改变轨迹。
- 物体自旋可能产生额外升力。
带回原题想一想
把“B组第10题：半圆小孔通关”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选坐标轴，把运动分解为互相独立且等时的水平、竖直分运动”建立模型。可先使用：
\[h+R\sin\phi=\frac12R(1+\cos\phi)\tan\phi\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[h+R\sin\phi=\frac12R(1+\cos\phi)\tan\phi\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：任意圆弧角的小孔通关
把原题中射口高于 \(B\) 的距离记为 \(h\)，\(OP\) 与水平夹角记为 \(\phi\)。弹丸仍从 \(B\) 正上方水平射出并沿 \(OP\) 方向进入小孔。推导圆弧半径 \(R\) 和初速度 \(v_0\) 的一般表达式。
变式答案
**半径**
水平位移 \(x=R(1+\cos\phi)\)，下落量 \(y=h+R\sin\phi\)，且径向入孔给出 \(v_y/v_x=\tan\phi\)。由 \(y=x\tan\phi/2\) 得
\[R=\frac{2h\cos\phi}{\sin\phi(1-\cos\phi)}.\]
**初速度**
\[v_0=x\sqrt{\frac{g}{2y}}=\sqrt{\frac{gx}{\tan\phi}}.\]
把上式的 \(R\) 与 \(x=R(1+\cos\phi)\) 代入即可得到只含 \(h、\phi、g\) 的表达式。
思路提示
**思路**
圆几何提供 \(P\) 点坐标，径向入孔提供末速度角。平抛恒等式 \(y=(x/2)(v_y/v_x)\) 能直接消去时间和初速度，先求 \(R\) 最省力。
真题拓展
水平抛出物块的动能、势能与落地角
高考真题 · 同一考点
2014年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“抛体运动与功率”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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