机械能守恒定律

章节题目概括

1. 例1：重力势能参考面

   如图，质量 \(m=0.5\,\mathrm{kg}\) 的小球从桌面上方 \(h_1=1.2\,\mathrm m\) 的 \(A\) 点落到地面的 \(B\) 点，桌面高 \(h_2=0.8\,\mathrm m\)。分别以桌面和地面为零势能面，填写小球在 \(A,B\) 两点的重力势能、下落过程重力做…

2. 例2：深井等初动能上抛

   在深井底同一点，以相同的初动能将两个质量不同的物体竖直向上抛向井口。选取地面为零势能面，不计空气阻力。在它们各自达到最大高度时，下列说法正确的是（ ）。

3. 例3：机械能守恒条件

   下列说法中正确的是（ ）。

4. 例4：足球机械能与参考面

   （多选）某人将质量为 \(m\)、静止在水平地面 \(A\) 点的足球以速度 \(v_0\) 斜向上踢起。足球到达离地高度为 \(h\) 的 \(B\) 点，取 \(B\) 处为零势能参考面，重力加速度为 \(g\)，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）。

5. 例5：圆弧轨道最大高度

   如图甲，质量为 \(m\) 的小球以速度 \(v_0\) 竖直上抛，最大高度为 \(h\)。再将质量分别为 \(2m,3m,4m,5m\) 的小球，以同样大小的速度 \(v_0\) 从半径均为 \(R=\frac12h\) 的四种竖直圆弧形光滑轨道最低点水平射入。四轨道依次为半圆、圆心角 \(120^\ci…

6. 例6：落球压缩弹簧

   （多选）轻弹簧支撑质量忽略的平台 \(PQ\)，弹簧下端固定在地面。质量为 \(m\) 的金属球从高处落下。从球碰到 \(PQ\) 到弹簧压缩最短，弹簧始终发生弹性形变。下列说法正确的是（ ）。

7. 例7：直杆双球转动

   质量不计、长为 \(L\) 且不能弯曲的直杆，一端和中点分别固定质量均为 \(m\) 的小球 \(A,B\)，另一端固定在水平轴 \(O\) 处。杆可在竖直面内无摩擦转动。杆从水平位置由静止释放，转到竖直位置时，求两球速度 \(v_A,v_B\)。

8. 例8：U形管水柱

   （多选）内径面积为 \(S\) 的 U 形圆筒竖直放置，筒内装水。底部阀门 \(K\) 关闭时两侧水面高度分别为 \(h_1,h_2\)。水的密度为 \(\rho\)，不计水与筒壁的摩擦。打开阀门，当两侧水面高度相等时，该过程中（ ）。

9. 例9：匀加速竖直下降

   （多选）质量为 \(m\) 的物体从静止出发，以加速度 \(\frac34g\) 竖直下降高度 \(h\)。则此过程中（ ）。

10. 例10：弹簧滑块动能—高度图

    （多选）竖直光滑杆固定，套在杆上的轻弹簧下端固定。将滑块向下压缩弹簧至离地高度 \(h=0.1\,\mathrm m\) 处，滑块与弹簧不拴接，由静止释放。传感器得到滑块的 \(E_k-h\) 图像：\(0.2\,\mathrm m\) 到 \(0.35\,\mathrm m\) 为从 \(0.30\,\m…

11. 例11：绳弹簧连接体

    物块 \(B,C\) 由轻质弹簧相连，轻绳跨过定滑轮，两端分别连接套在竖直杆上的小球 \(A\) 和物块 \(B\)。初始托住 \(A\) 使系统静止，滑轮与 \(A\) 间绳水平、与 \(B\) 间绳竖直且绳无拉力。\(B,C\) 质量均为 \(m\)，\(A\) 质量为 \(2m\)。释放 \(A\)…

12. A组第1题：抛体落海平面

    （多选）在地面上以速度 \(v_0\) 抛出质量为 \(m\) 的物体，物体落到比地面低 \(h\) 的海平面。以地面为零势能面，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）。

13. A组第2题：海盗桶弹簧弹射

    海盗桶玩具可简化为竖直弹簧弹射小球：弹簧压缩后由锁扣 \(K\) 锁住，打开锁扣，小球从压缩位置 \(B\) 向上运动到弹簧原长位置 \(A\)。忽略弹簧质量和空气阻力。从 \(B\) 到 \(A\) 的过程中，下列说法正确的是（ ）。

14. A组第3题：光滑轨道变形

    （多选）物体以初速度 \(v_0\) 冲向光滑斜面 \(AB\)，并恰好能沿斜面升高 \(h\)。保持 \(v_0\) 不变，下列说法正确的是（ ）。

15. A组第4题：斜面恒力加速

    倾角为 \(30^\circ\) 的斜面上，质量为 \(m\) 的物块在沿斜面恒定拉力作用下，以加速度 \(a=\frac g2\) 向上运动距离 \(x\)。下列说法正确的是（ ）。

16. A组第5题：汽车两路段功率

    （多选）一辆无人驾驶车在水平路段 \(MN\) 上以恒定功率 \(48\,\mathrm{kW}\)、速度 \(16\,\mathrm{m/s}\) 匀速行驶；在斜坡路段 \(PQ\) 上以恒定功率 \(96\,\mathrm{kW}\)、速度 \(8\,\mathrm{m/s}\) 匀速行驶。车辆总质量 …

17. A组第6题：定滑轮竖杆小球

    （多选）竖直光滑细杆上穿着小球 \(B\)，B 通过不可伸长轻绳绕过光滑定滑轮与质量为 \(m\) 的物块 \(A\) 相连。初始将 A 向上托起，使滑轮左侧绳与竖直方向夹角为 \(\theta\)，松手后 A 做竖直往复运动，B 最高到达 M。滑轮到细杆距离为 \(d\)，Q 与滑轮等高，且 \(OM\p…

18. B组第7题：弹簧摩擦缓冲器

    某缓冲装置由劲度系数足够大的轻弹簧与可在固定槽内移动的轻杆相连，轻杆与槽间滑动摩擦力恒为 \(f\)，最大静摩擦力也为 \(f\)。轻杆向右移动不超过 \(l\) 时装置安全。质量为 \(m\) 的小车以速度 \(v_0\) 撞击弹簧时，轻杆向右移动 \(l/4\)。不计小车与地面的摩擦，弹簧劲度系数为 \…

19. B组第8题：柔绳滑离桌面

    质量为 \(M\)、长度为 \(L\) 的均匀柔软细绳置于光滑水平桌面，右端恰在桌边。受扰后细绳从静止沿桌边下滑。下落长度为 \(x\) 时，加速度为 \(a\)，转折点 \(O\) 的张力为 \(T\)，桌面剩余绳的动能为 \(E_k\)、动量为 \(p\)。从初态到绳全部离开桌面的过程中，下列说法正确的…

20. B组第9题：偏心轻杆双球

    （多选）轻杆长 \(3L\)，A、B 两端分别固定质量均为 \(m\) 的球。距 A 为 \(L\) 的 O 点装在光滑水平轴上，杆和球在竖直面内转动。若球 B 到最高点时对杆恰好无作用力，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）。

21. B组第10题：刚杆连接双滑块

    （多选）滑块 \(a,b\) 的质量均为 \(m\)。a 套在固定竖直杆上，初始距光滑水平地面 \(h\)；b 放在地面上。a、b 由铰链用刚性轻杆连接并由静止开始运动，不计摩擦，二者视为质点。下列说法正确的是（ ）。

章节定理、规律与公式汇总

核心定理与规律

1. 重力势能的零点可以任意选取，但势能变化和重力做功与零点选择无关。
2. 只有重力或系统内弹力做功时，系统机械能守恒；存在摩擦或外力做功时需改用功能关系。
3. 多物体系统使用机械能守恒时，应把相互作用物体及相关势能一并纳入系统。

常用公式

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