题目
（多选）竖直光滑细杆上穿着小球 \(B\)，B 通过不可伸长轻绳绕过光滑定滑轮与质量为 \(m\) 的物块 \(A\) 相连。初始将 A 向上托起，使滑轮左侧绳与竖直方向夹角为 \(\theta\)，松手后 A 做竖直往复运动，B 最高到达 M。滑轮到细杆距离为 \(d\)，Q 与滑轮等高，且 \(OM\perp OP\)，\(\sin\theta=0.6\)，滑轮视为质点。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. B 经过 Q 点时，A 的加速度为零
- B. 小球 B 的质量为 \(\frac m5\)
- C. B 经过 Q 点时的加速度大小为 \(g\)
- D. A、B 组成的系统机械能不守恒
学习定位
连接体与约束
题族：滑轮绳约束连接体
训练能力：绳长约束求速度、连接体能量建模
前置知识：速度投影、机械能守恒
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 由几何求 P、M 位置
初态 \(OP=d/\sin\theta=5d/3\)，P 在 Q 下方 \(4d/3\)。由 \(OM\perp OP\) 得 M 在 Q 上方 \(3d/4\)，且 \(OM=5d/4\)。
易错点
- 把 M 与 P 误认为关于 Q 对称
2. 用初末静止状态求 B 质量
P 到 M：B 上升 \(4d/3+3d/4=25d/12\)；斜绳由 \(5d/3\) 变为 \(5d/4\)，A 下降 \(5d/12\)。初末均静止，机械能守恒给 \(mg\frac{5d}{12}=m_Bg\frac{25d}{12}\)，故 \(m_B=m/5\)，B 正确、D 错。
易错点
- 漏掉 A 的运动方向由斜绳长度变化决定
3. 分析 Q 点瞬时运动
B 经过 Q 时斜绳水平，绳张力无竖直分量，杆的支持力也水平，所以 B 的竖直加速度就是 \(g\)，C 正确。虽然此刻 A 的速度为零，但绳长 \(r=\sqrt{d^2+y^2}\) 在 Q 点有非零二阶变化，A 的加速度不为零，A 错。
易错点
- 由瞬时速度为零推出加速度也为零
初学者探索过程
从“滑轮绳约束连接体”开始探索
先把“A组第6题：定滑轮竖杆小球”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A组第6题：定滑轮竖杆小球”后，判断为什么“把 M 与 P 误认为关于 Q 对称”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“绳长约束求速度、连接体能量建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把 M 与 P 误认为关于 Q 对称。
检查这个想法：先执行：先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[r=\sqrt{d^2+y^2},\qquad \Delta E_k+\Delta E_p=0,\qquad a_B=g\ \text{当斜绳水平}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“绳长约束求速度”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“连接体能量建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[r=\sqrt{d^2+y^2},\qquad \Delta E_k+\Delta E_p=0,\qquad a_B=g\ \text{当斜绳水平}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“绳长约束求速度、连接体能量建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
起重滑轮与机械连杆：现实中的“滑轮绳约束连接体”
现实场景
起重机钢索、健身器械滑轮和机械连杆通过固定长度或固定接触关系，把一个部件的运动传递给另一个部件。
题目与现实如何对应
题目中的轻绳或轻杆对应现实中的钢索与连杆，端点速度对应执行器和负载的运动速度。 当前题目“A组第6题：定滑轮竖杆小球”训练的“绳长约束求速度、连接体能量建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[r=\sqrt{d^2+y^2},\qquad \Delta E_k+\Delta E_p=0,\qquad a_B=g\ \text{当斜绳水平}\]
更一般的模型关系是：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实绳索会伸长并具有质量。
- 滑轮轴承摩擦会使两侧张力不再严格相等。
带回原题想一想
把“A组第6题：定滑轮竖杆小球”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”建立模型。可先使用：
\[r=\sqrt{d^2+y^2},\qquad \Delta E_k+\Delta E_p=0,\qquad a_B=g\ \text{当斜绳水平}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[r=\sqrt{d^2+y^2},\qquad \Delta E_k+\Delta E_p=0,\qquad a_B=g\ \text{当斜绳水平}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：绳长约束的二阶关系
定滑轮 \(O\) 到竖直光滑杆的水平距离为 \(d\)，杆上小球 \(B\) 的竖直坐标 \(y\) 从与滑轮等高的 \(Q\) 点向下取正。轻绳一端连 \(B\)，另一端悬挂物块 \(A\)，把 \(A\) 向下坐标记为 \(z\)。（1）写出绳长约束；（2）求 \(\dot z\) 与 \(\ddot z\)；（3）若 \(B\) 经过 \(Q\) 点时速度大小为 \(u\)，求此刻 \(A\) 的速度和加速度；（4）解释为什么 \(A\) 此刻速度为零但加速度不为零。
变式答案
**1. 写绳长约束**
斜绳长 \(r=\sqrt{d^2+y^2}\)，故
\[z+\sqrt{d^2+y^2}=\text{常量}\]
**2. 连续求导**
\[\dot z=-\frac{y\dot y}{r}\]
\[\ddot z=-\frac{\dot y^2+y\ddot y}{r}+\frac{y^2\dot y^2}{r^3}\]
**3. 经过 Q 点**
此时 \(y=0\)、\(r=d\)、\(|\dot y|=u\)，所以 \(\dot z=0\)，而
\[\ddot z=-\frac{u^2}{d}\]
若向下为正，物块 \(A\) 的加速度方向向上，大小为 \(u^2/d\)。
**4. 物理解释**
Q 点只使绳长对 \(y\) 的一阶变化率为零；斜绳长度仍具有非零的二阶变化率，因此速度约束为零不代表加速度约束也为零。
思路提示
**新增难点**
从位移约束推进到速度和加速度约束，专门处理“瞬时速度为零但加速度不为零”的易错点。
真题拓展
轻绳拉动物块沿斜面匀速上行
高考真题 · 综合迁移
2019年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第3题
该真题与当前题同属“连接体与约束”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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