题目
如图甲，质量为 \(m\) 的小球以速度 \(v_0\) 竖直上抛，最大高度为 \(h\)。再将质量分别为 \(2m,3m,4m,5m\) 的小球，以同样大小的速度 \(v_0\) 从半径均为 \(R=\frac12h\) 的四种竖直圆弧形光滑轨道最低点水平射入。四轨道依次为半圆、圆心角 \(120^\circ\)、圆心角 \(90^\circ\)、圆心角 \(30^\circ\)。小球大小和空气阻力均不计，能到达的最大高度仍为 \(h\) 的是（ ）。
选项
- A. 质量为 \(2m\) 的小球
- B. 质量为 \(3m\) 的小球
- C. 质量为 \(4m\) 的小球
- D. 质量为 \(5m\) 的小球
学习定位
轨道临界与抛体衔接
题族：圆弧轨道与离轨抛体
训练能力：临界条件识别、多过程衔接
前置知识：机械能守恒、向心力、平抛运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 确定初速度能量
竖直上抛最高点速度为零，故 \(\frac12mv_0^2=mgh\)，即 \(v_0^2=2gh\)。质量在等式中约去，所以题中不同质量本身不改变所能达到的高度。
易错点
- 认为质量较大的球一定上升较低
2. 判断离轨后的竖直分速度
小球离开轨道后，水平分速度对应的动能不能再转化为重力势能。只有 \(90^\circ\) 圆弧的末端切线竖直，小球离轨时没有水平分速度，剩余动能可全部转化为势能。
易错点
- 只用总机械能判断高度，漏掉最高点仍可能有水平速度
3. 校验四分之一圆弧
到 \(90^\circ\) 圆弧末端已上升 \(R=h/2\)，由守恒得 \(v^2=v_0^2-2gR=gh\)。此时速度竖直向上，离轨后再上升 \(\frac{v^2}{2g}=h/2\)，总高度恰为 \(h\)。故选 C。
初学者探索过程
从“圆弧轨道与离轨抛体”开始探索
先把“例5：圆弧轨道最大高度”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例5：圆弧轨道最大高度”后，判断为什么“认为质量较大的球一定上升较低”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“临界条件识别、多过程衔接”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：认为质量较大的球一定上升较低。
检查这个想法：先执行：先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v_0^2=2gh,\qquad H=y_{\text{离}}+\frac{v_{y,\text{离}}^2}{2g}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“临界条件识别”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“多过程衔接”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v_0^2=2gh,\qquad H=y_{\text{离}}+\frac{v_{y,\text{离}}^2}{2g}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“临界条件识别、多过程衔接”如何受条件变化控制。
现实同构案例
过山车轨道与跳台设计：现实中的“圆弧轨道与离轨抛体”
现实场景
过山车、滑雪跳台和测试轨道需要同时满足能量、接触力和离轨后抛体轨迹的约束。
题目与现实如何对应
题目中的圆弧、斜面和离轨点对应真实轨道几何，支持力和速度对应结构载荷与安全边界。 当前题目“例5：圆弧轨道最大高度”训练的“临界条件识别、多过程衔接”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v_0^2=2gh,\qquad H=y_{\text{离}}+\frac{v_{y,\text{离}}^2}{2g}\]
更一般的模型关系是：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实轨道存在滚动阻力和空气阻力。
- 乘员舒适性还限制加速度及其变化率。
带回原题想一想
把“例5：圆弧轨道最大高度”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”建立模型。可先使用：
\[v_0^2=2gh,\qquad H=y_{\text{离}}+\frac{v_{y,\text{离}}^2}{2g}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v_0^2=2gh,\qquad H=y_{\text{离}}+\frac{v_{y,\text{离}}^2}{2g}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：圆弧离轨高度的通式与反求角度
小球以速度 \(v_0\) 从光滑窄圆弧轨道最低点进入，轨道半径为 \(R\)，在圆心角为 \(\varphi\) 的末端离轨，其中 \(0\lt\varphi\le90^\circ\)。轨道能约束小球至末端，离轨后做斜抛。（1）求离轨速度；（2）求最高点相对最低点的高度 \(H(\varphi)\)；（3）当 \(v_0^2=4gR\) 时，若要求 \(H=2R\)，反求 \(\varphi\)；（4）说明结果为何与小球质量无关。
变式答案
**1. 圆弧段机械能守恒**
末端高度为 \(R(1-\cos\varphi)\)，故
\[v_e^2=v_0^2-2gR(1-\cos\varphi)\]
**2. 离轨后继续上升**
末端切线与水平夹角为 \(\varphi\)，所以
\[H(\varphi)=R(1-\cos\varphi)+\frac{v_e^2\sin^2\varphi}{2g}\]
**3. 反求圆心角**
代入 \(v_0^2=4gR\)，令 \(c=\cos\varphi\)，可得
\[\frac HR=2-c^2-c^3\]
在 \(0\le c\lt1\) 内令 \(H=2R\)，得到 \(c=0\)，故 \(\varphi=90^\circ\)。
**4. 质量无关性**
圆弧段与离轨后的能量方程中质量均可约去，因此轨迹高度只由初速度和几何参数决定。
思路提示
**新增难点**
先建立任意圆心角下的最高高度函数，再由目标高度反求轨道角度；这比直接代入某个角度多了一步函数建模。
真题拓展
圆弧滑道运输货物的功与能量
高考真题 · 同一考点
2023年广东卷 · 第8题
该真题与当前题同属“轨道临界与抛体衔接”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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