题目
（多选）物体以初速度 \(v_0\) 冲向光滑斜面 \(AB\)，并恰好能沿斜面升高 \(h\)。保持 \(v_0\) 不变，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 从 C 点竖直向下锯断并去掉 BC，物体冲过 C 点后仍可能达到高度 \(h\)
- B. 把斜面弯成直径为 \(h\) 的圆弧形轨道 D，物体仍可能达到高度 \(h\)
- C. 锯断斜面或弯成上述圆弧的两种情况下，物体都不能达到高度 \(h\)
- D. 把斜面 AB 变成光滑曲面 AEB，物体沿曲面上升仍能达到高度 \(h\)
学习定位
轨道临界与抛体衔接
题族：圆弧轨道与离轨抛体
训练能力：轨道约束判断、离轨后运动建模
前置知识：机械能守恒、平抛运动
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 确定基准能量
原斜面光滑且物体恰好升高 \(h\)，所以 \(\frac12mv_0^2=mgh\)，即 \(v_0^2=2gh\)。
2. 分析失去轨道约束的两种情况
从 C 点飞出后，最高点仍保留水平速度，不能把全部动能转为势能，故达不到 \(h\)。在直径为 \(h\) 的圆弧内运动时，小球在到达顶部前会因支持力降为零而脱轨，离轨后仍有水平分速度，也达不到 \(h\)。因此 A、B 错，C 对。
易错点
- 只用总机械能上限，忽略轨道是否能持续提供约束
3. 分析连续光滑曲面
把斜面改成连续光滑曲面 AEB 后，支持力始终不做功，物体不提前脱离曲面，仍可把初动能完全转化为 \(mgh\)，到达高度 \(h\)。D 正确，答案为 C、D。
初学者探索过程
从“圆弧轨道与离轨抛体”开始探索
先把“A组第3题：光滑轨道变形”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“A组第3题：光滑轨道变形”后，判断为什么“认为质量较大的球一定上升较低”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“轨道约束判断、离轨后运动建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：认为质量较大的球一定上升较低。
检查这个想法：先执行：先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\frac12mv_0^2=mgh,\qquad E_{k,\text{顶}}=\frac12mv_x^2,\qquad N\ge0\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“临界条件识别”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“离轨后运动建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\frac12mv_0^2=mgh,\qquad E_{k,\text{顶}}=\frac12mv_x^2,\qquad N\ge0\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“轨道约束判断、离轨后运动建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
过山车轨道与跳台设计：现实中的“圆弧轨道与离轨抛体”
现实场景
过山车、滑雪跳台和测试轨道需要同时满足能量、接触力和离轨后抛体轨迹的约束。
题目与现实如何对应
题目中的圆弧、斜面和离轨点对应真实轨道几何，支持力和速度对应结构载荷与安全边界。 当前题目“A组第3题：光滑轨道变形”训练的“轨道约束判断、离轨后运动建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\frac12mv_0^2=mgh,\qquad E_{k,\text{顶}}=\frac12mv_x^2,\qquad N\ge0\]
更一般的模型关系是：
\[E_1+W_{\mathrm{nc}}=E_2,\qquad \sum F_r=m\frac{v^2}{r}\]
能量关系决定速度大小，径向动力学和几何条件决定能否继续沿轨道运动，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实轨道存在滚动阻力和空气阻力。
- 乘员舒适性还限制加速度及其变化率。
带回原题想一想
把“A组第3题：光滑轨道变形”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先按轨道接触、脱离和抛体阶段分段，并在连接点使用共同状态量”建立模型。可先使用：
\[\frac12mv_0^2=mgh,\qquad E_{k,\text{顶}}=\frac12mv_x^2,\qquad N\ge0\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\frac12mv_0^2=mgh,\qquad E_{k,\text{顶}}=\frac12mv_x^2,\qquad N\ge0\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：离轨角度与最高高度条件
物体以初速度 \(v_0\) 进入光滑轨道，若始终不离轨，初动能恰能使它升高 \(h\)。现轨道在高度 \(\lambda h\) 处结束，末端切线与水平方向夹角为 \(\alpha\)，其中 \(0\lt\lambda\lt1\)。物体离轨后做斜抛。（1）求离轨速度；（2）求离轨后的最高点高度 \(H_{\max}\)；（3）求仍能达到高度 \(h\) 的条件；（4）当 \(\alpha=45^\circ\) 时，若要求 \(H_{\max}\ge\frac34h\)，求 \(\lambda\) 的范围。
变式答案
**1. 求离轨速度**
由 \(\frac12mv_0^2=mgh\) 及机械能守恒：
\[v_e^2=2gh(1-\lambda)\]
**2. 求最高点高度**
离轨后的竖直分速度为 \(v_e\sin\alpha\)，所以
\[H_{\max}=\lambda h+\frac{v_e^2\sin^2\alpha}{2g}=h\left[\lambda+(1-\lambda)\sin^2\alpha\right]\]
**3. 判断何时仍能达到 h**
要使 \(H_{\max}=h\)，必须有 \((1-\lambda)\cos^2\alpha=0\)。因 \(\lambda\lt1\)，故只能是 \(\alpha=90^\circ\)，即离轨速度竖直向上。
**4. 处理给定角度**
当 \(\alpha=45^\circ\) 时，\(H_{\max}/h=(1+\lambda)/2\)。由其不小于 \(3/4\)，得 \(\lambda\ge1/2\)。
思路提示
**新增难点**
把“离轨后保留水平动能”的定性结论推广为含 \(\lambda\) 和 \(\alpha\) 的通式，再反求达到指定高度的几何条件。
真题拓展
圆弧滑道运输货物的功与能量
高考真题 · 同一考点
2023年广东卷 · 第8题
该真题与当前题同属“轨道临界与抛体衔接”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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