题目
质量为 \(M\)、长度为 \(L\) 的均匀柔软细绳置于光滑水平桌面，右端恰在桌边。受扰后细绳从静止沿桌边下滑。下落长度为 \(x\) 时，加速度为 \(a\)，转折点 \(O\) 的张力为 \(T\)，桌面剩余绳的动能为 \(E_k\)、动量为 \(p\)。从初态到绳全部离开桌面的过程中，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 当 \(x=L/4\) 时，张力 \(T\) 有最大值
- B. 当 \(x=L/4\) 时，动量 \(p\) 有最大值
- C. 当 \(x=L/2\) 时，加速度 \(a\) 有最大值
- D. 当 \(x=2L/3\) 时，动能 \(E_k\) 有最值
学习定位
机械能守恒
题族：连续体重力势能
训练能力：连续体积分等效、函数极值分析
前置知识：重心位置、机械能守恒
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参考答案
分步解析
1. 由机械能求绳速
线密度 \(\lambda=M/L\)。悬垂段重心下降 \(x/2\)，势能减少 \(\frac12\lambda gx^2\)，等于整根绳动能 \(\frac12Mv^2\)。故 \(v=x\sqrt{g/L}\)，进而 \(a=v\frac{dv}{dx}=gx/L\)。加速度随 x 增大，在 \(x=L\) 最大，C 错。
易错点
- 只计算悬垂段的动能
2. 求转折点张力
对悬垂段列牛顿第二定律：\(\lambda xg-T=\lambda xa\)，得 \(T=\lambda gx(1-x/L)\)。该二次函数在 \(x=L/2\) 最大，A 错。
3. 求桌面段动量与动能极值
桌面剩余质量为 \(\lambda(L-x)\)。其动量 \(p=\lambda(L-x)x\sqrt{g/L}\)，在 \(x=L/2\) 最大，B 错；动能 \(E_k=\frac{\lambda g}{2L}x^2(L-x)\)，求导得极值位置 \(x=2L/3\)，D 正确。
易错点
- 把整根绳动能与桌面剩余绳动能混为一谈
初学者探索过程
从“连续体重力势能”开始探索
先把“B组第8题：柔绳滑离桌面”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B组第8题：柔绳滑离桌面”后，判断为什么“只看低液面上升的一侧大气压力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“连续体积分等效、函数极值分析”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：只看低液面上升的一侧大气压力。
检查这个想法：先执行：先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v=x\sqrt{\frac gL},\quad a=\frac{gx}{L},\quad T=\frac{M}{L}gx\left(1-\frac{x}{L}\right),\quad E_k=\frac{Mg}{2L^2}x^2(L-x)\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“连续体等效”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“函数极值分析”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v=x\sqrt{\frac gL},\quad a=\frac{gx}{L},\quad T=\frac{M}{L}gx\left(1-\frac{x}{L}\right),\quad E_k=\frac{Mg}{2L^2}x^2(L-x)\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“连续体积分等效、函数极值分析”如何受条件变化控制。
现实同构案例
过山车与储能装置：现实中的“连续体重力势能”
现实场景
过山车、抽水蓄能和弹簧储能装置都在动能与势能之间转换，并通过摩擦和驱动补偿能量损失。
题目与现实如何对应
题目中的高度、速度和弹性形变对应设备的重力势能、动能和弹性势能状态。 当前题目“B组第8题：柔绳滑离桌面”训练的“连续体积分等效、函数极值分析”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v=x\sqrt{\frac gL},\quad a=\frac{gx}{L},\quad T=\frac{M}{L}gx\left(1-\frac{x}{L}\right),\quad E_k=\frac{Mg}{2L^2}x^2(L-x)\]
更一般的模型关系是：
\[E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\]
机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力和滚动摩擦会造成机械能损失。
- 真实设备还要满足结构强度和舒适性约束。
带回原题想一想
把“B组第8题：柔绳滑离桌面”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能”建立模型。可先使用：
\[v=x\sqrt{\frac gL},\quad a=\frac{gx}{L},\quad T=\frac{M}{L}gx\left(1-\frac{x}{L}\right),\quad E_k=\frac{Mg}{2L^2}x^2(L-x)\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v=x\sqrt{\frac gL},\quad a=\frac{gx}{L},\quad T=\frac{M}{L}gx\left(1-\frac{x}{L}\right),\quad E_k=\frac{Mg}{2L^2}x^2(L-x)\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：带初始悬垂量的滑绳极值
质量为 \(M\)、长度为 \(L\) 的均匀柔绳放在光滑水平桌面上，初始已有长度 \(x_0\) 悬垂于桌边，并由静止释放。运动中悬垂长度为 \(x\)，其中 \(x_0\le x\le L\)。（1）求整根绳的速度 \(v(x)\)；（2）求加速度；（3）写出桌面剩余部分的动能；（4）求该动能最大时的悬垂长度，并说明 \(x_0=0\) 时如何退化为原结论。
变式答案
**1. 用机械能守恒求速度**
线密度为 \(M/L\)。悬垂段重心下降带来的势能减少等于整绳动能：
\[v^2=\frac gL(x^2-x_0^2)\]
**2. 求加速度**
利用 \(a=v\,\mathrm dv/\mathrm dx\)，得 \(a=gx/L\)。
**3. 桌面段动能**
桌面剩余质量为 \(M(L-x)/L\)，所以
\[E_{k,\text{桌}}=\frac{Mg}{2L^2}(L-x)(x^2-x_0^2)\]
**4. 求极值位置**
对上式关于 \(x\) 求导，得到 \(3x^2-2Lx-x_0^2=0\)。取物理范围内的正根：
\[x_*=\frac{L+\sqrt{L^2+3x_0^2}}{3}\]
当 \(x_0=0\) 时，\(x_*=2L/3\)。
思路提示
**新增难点**
初态不再是零悬垂量，能量零点和极值位置都发生变化；需要先写完整函数再求导，而不是把某一时刻数值代入。
真题拓展
烟花弹上升、爆炸与最大高度
高考真题 · 同一考点
2018年全国新课标Ⅰ卷 · 物理选考第11题
该真题与当前题同属“机械能守恒”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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