题目
质量不计、长为 \(L\) 且不能弯曲的直杆，一端和中点分别固定质量均为 \(m\) 的小球 \(A,B\)，另一端固定在水平轴 \(O\) 处。杆可在竖直面内无摩擦转动。杆从水平位置由静止释放，转到竖直位置时，求两球速度 \(v_A,v_B\)。
学习定位
连接体与约束
题族：刚性连接体转动
训练能力：同轴角速度关联、系统能量建模
前置知识：转动线速度、机械能守恒
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 写速度约束
两球固定在同一刚性杆上，角速度相同。因 \(OA=L\)、\(OB=L/2\)，有 \(v_A=\omega L\)，\(v_B=\omega L/2=v_A/2\)。
易错点
- 误认为两球线速度相同
2. 计算重力势能减少量
杆由水平转到竖直向下，A 下降 \(L\)，B 下降 \(L/2\)，故总势能减少 \(\Delta E_p=mgL+mg\frac L2=\frac32mgL\)。
3. 列系统机械能守恒
\(\frac32mgL=\frac12mv_A^2+\frac12mv_B^2=\frac12m\omega^2L^2(1+\frac14)\)。解得 \(\omega^2=\frac{12g}{5L}\)，从而 \(v_A=\sqrt{\frac{12}{5}gL}\)，\(v_B=\sqrt{\frac35gL}\)。
易错点
- 漏掉中点小球的动能
初学者探索过程
从“刚性连接体转动”开始探索
先把“例7：直杆双球转动”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例7：直杆双球转动”后，判断为什么“误认为两球线速度相同”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“同轴角速度关联、系统能量建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：误认为两球线速度相同。
检查这个想法：先执行：先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“同轴角速度关联”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“系统能量建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“同轴角速度关联、系统能量建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
起重滑轮与机械连杆：现实中的“刚性连接体转动”
现实场景
起重机钢索、健身器械滑轮和机械连杆通过固定长度或固定接触关系，把一个部件的运动传递给另一个部件。
题目与现实如何对应
题目中的轻绳或轻杆对应现实中的钢索与连杆，端点速度对应执行器和负载的运动速度。 当前题目“例7：直杆双球转动”训练的“同轴角速度关联、系统能量建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
更一般的模型关系是：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实绳索会伸长并具有质量。
- 滑轮轴承摩擦会使两侧张力不再严格相等。
带回原题想一想
把“例7：直杆双球转动”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”建立模型。可先使用：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：转轴两侧双球的转动方向与临界平衡
一根轻杆可绕水平轴 \(O\) 在竖直面内无摩擦转动。质量为 \(m\) 的小球 \(A\) 固定在轴左侧、距轴 \(L\)；质量为 \(2m\) 的小球 \(B\) 固定在轴右侧、距轴 \(L/3\)。杆初始水平并由静止释放。（1）判断哪一侧下落；（2）求杆转到竖直位置时的角速度；（3）求两球速度；（4）若把 \(B\) 的质量改为 \(3m\)，系统由静止释放后如何运动？
变式答案
**1. 判断转动方向**
A 侧重力矩为 \(mgL\)，B 侧为 \(2mgL/3\)，所以 A 侧下落。
**2. 用机械能守恒求角速度**
到竖直位置时，重力势能净减少
\[mgL-2mg\frac L3=\frac13mgL\]
转动惯量为 \(I=mL^2+2m(L/3)^2=\frac{11}{9}mL^2\)。由 \(\frac12I\omega^2=\frac13mgL\)，得
\[\omega=\sqrt{\frac{6g}{11L}}\]
**3. 求线速度**
\[v_A=\omega L=\sqrt{\frac{6gL}{11}},\qquad v_B=\omega\frac L3=\frac13\sqrt{\frac{6gL}{11}}\]
**4. 临界平衡**
若 \(m_B=3m\)，两侧质量矩相等，系统质心位于转轴，重力势能与角度无关。由静止释放后将保持静止。
思路提示
**新增难点**
两个小球分居转轴两侧，必须先由重力矩判断转向，再对整体列能量方程；最后通过质量矩相等识别临界平衡。
真题拓展
轻绳拉动物块沿斜面匀速上行
高考真题 · 综合迁移
2019年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第3题
该真题与当前题同属“连接体与约束”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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