题目
（多选）内径面积为 \(S\) 的 U 形圆筒竖直放置，筒内装水。底部阀门 \(K\) 关闭时两侧水面高度分别为 \(h_1,h_2\)。水的密度为 \(\rho\)，不计水与筒壁的摩擦。打开阀门，当两侧水面高度相等时，该过程中（ ）。
选项
- A. 水柱的重力做正功
- B. 大气压力对水柱做负功
- C. 水柱的机械能守恒
- D. 若水柱总长为 \(H\)，等高时水柱速度为 \((h_1-h_2)\sqrt{\frac{g}{2H}}\)
学习定位
机械能守恒
题族：连续体重力势能
训练能力：连续体等效、重心变化建模
前置知识：重力势能、体积守恒
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 判断外力做功
高液面下降、低液面上升，水柱重心降低，所以重力做正功，A 正确。两端大气压相同，推动一端的正功与阻碍另一端的负功抵消，总功为零，B 错。
易错点
- 只看低液面上升的一侧大气压力
2. 计算势能减少量
两竖直水柱初始势能为 \(\frac12\rho Sg(h_1^2+h_2^2)\)，等高后势能为 \(\rho Sg[(h_1+h_2)/2]^2\)。故势能减少 \(\frac14\rho Sg(h_1-h_2)^2\)。
易错点
- 把每侧水柱的质心高度直接写成液面高度
3. 由机械能守恒求速度
水柱总质量为 \(\rho SH\)，且各处流速大小相同。由 \(\frac12\rho SHv^2=\frac14\rho Sg(h_1-h_2)^2\)，得 \(v=(h_1-h_2)\sqrt{\frac{g}{2H}}\)。C、D 正确，答案为 A、C、D。
易错点
- 动能只计算一侧竖直水柱
初学者探索过程
从“连续体重力势能”开始探索
先把“例8：U形管水柱”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例8：U形管水柱”后，判断为什么“只看低液面上升的一侧大气压力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“连续体等效、重心变化建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：只看低液面上升的一侧大气压力。
检查这个想法：先执行：先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\Delta E_p=\frac14\rho Sg(h_1-h_2)^2,\qquad \frac12\rho SHv^2=\Delta E_p\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“连续体等效”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“重心变化建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\Delta E_p=\frac14\rho Sg(h_1-h_2)^2,\qquad \frac12\rho SHv^2=\Delta E_p\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“连续体等效、重心变化建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
过山车与储能装置：现实中的“连续体重力势能”
现实场景
过山车、抽水蓄能和弹簧储能装置都在动能与势能之间转换，并通过摩擦和驱动补偿能量损失。
题目与现实如何对应
题目中的高度、速度和弹性形变对应设备的重力势能、动能和弹性势能状态。 当前题目“例8：U形管水柱”训练的“连续体等效、重心变化建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\Delta E_p=\frac14\rho Sg(h_1-h_2)^2,\qquad \frac12\rho SHv^2=\Delta E_p\]
更一般的模型关系是：
\[E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\]
机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力和滚动摩擦会造成机械能损失。
- 真实设备还要满足结构强度和舒适性约束。
带回原题想一想
把“例8：U形管水柱”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能”建立模型。可先使用：
\[\Delta E_p=\frac14\rho Sg(h_1-h_2)^2,\qquad \frac12\rho SHv^2=\Delta E_p\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\Delta E_p=\frac14\rho Sg(h_1-h_2)^2,\qquad \frac12\rho SHv^2=\Delta E_p\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：U形管等高后的惯性越位
等截面 U 形管内液体总长为 \(H\)，初始两液面高度差为 \(\Delta h\)，忽略一切阻力。（1）液体由静止释放，求第一次两液面等高时的速度；（2）说明等高时液体是否停止；（3）求随后第一次速度降为零时反向液面高度差的大小；（4）若初始液体已有沿趋向等高方向的速度 \(u_0\)，重新求等高速度和最大反向高度差。
变式答案
**1. 第一次等高速度**
初始相对等高状态的重力势能为 \(\frac14\rho Sg(\Delta h)^2\)，整段液体动能为 \(\frac12\rho SHv^2\)。故
\[v_{\text{等}}=\Delta h\sqrt{\frac{g}{2H}}\]
**2. 判断是否停止**
等高时势能最小但动能最大，液体不会停止，而会因惯性继续运动。
**3. 求反向高度差**
无耗散时，下一次速度为零处的势能应回到初始值，因此反向液面高度差的大小仍为 \(\Delta h\)。
**4. 加入初速度**
\[v_{\text{等}}^2=u_0^2+\frac{g(\Delta h)^2}{2H}\]
若最大反向高度差为 \(\Delta h_{\max}\)，则
\[\Delta h_{\max}=\sqrt{(\Delta h)^2+\frac{2Hu_0^2}{g}}\]
思路提示
**新增难点**
不只求第一次等高速度，还继续追踪到越过平衡位置后的转折点，并把初始动能加入势能差模型。
真题拓展
烟花弹上升、爆炸与最大高度
高考真题 · 同一考点
2018年全国新课标Ⅰ卷 · 物理选考第11题
该真题与当前题同属“机械能守恒”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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