题目
物块 \(B,C\) 由轻质弹簧相连，轻绳跨过定滑轮，两端分别连接套在竖直杆上的小球 \(A\) 和物块 \(B\)。初始托住 \(A\) 使系统静止，滑轮与 \(A\) 间绳水平、与 \(B\) 间绳竖直且绳无拉力。\(B,C\) 质量均为 \(m\)，\(A\) 质量为 \(2m\)。释放 \(A\)，当连接 \(A\) 的绳与竖直杆夹角为 \(37^\circ\) 时，\(B\) 上升速度为 \(v\)，且 \(C\) 刚要离地。取 \(\sin37^\circ=0.6,\cos37^\circ=0.8\)，不计摩擦和空气阻力。此过程中 \(A\) 下降高度为（ ）。
选项
- A. \(\frac{v^2}{2g}\)
- B. \(\frac{11v^2}{8g}\)
- C. \(\frac{v^2}{g}\)
- D. \(\frac{57v^2}{75g}\)
学习定位
连接体与约束
题族：绳弹簧连接系统
训练能力：关联速度分析、系统能量建模
前置知识：绳长约束、弹性势能
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参考答案
分步解析
1. 由绳长约束求位移关系
设滑轮到竖直杆的水平距离为 \(d\)。末态斜绳长为 \(d/\sin37^\circ=5d/3\)，A 下降 \(4d/3\)，斜绳增长 \(2d/3\)，故 B 上升 \(2d/3\)。因此 A 下降高度 \(y_A\) 与 B 上升高度 \(y_B\) 满足 \(y_A=2y_B\)。
易错点
- 把 A、B 位移直接写成相等
2. 由速度投影求末速度
A 的速度沿竖杆，投影到绳方向后等于 B 的绳速：\(v=v_A\cos37^\circ\)。故 \(v_A=\frac54v\)。
易错点
- 使用位移比 \(2:1\) 直接当作瞬时速度比
3. 处理弹簧能量
初态绳无拉力，B 静止要求弹簧对 B 的支持力为 \(mg\)，弹簧压缩量为 \(mg/k\)；末态 C 刚离地，弹簧拉力也为 \(mg\)，伸长量为 \(mg/k\)。初末弹性势能相等，在能量方程中抵消。
易错点
- 漏掉初态弹簧已经压缩
4. 列系统机械能守恒
令 B 上升 \(x\)，则 A 下降 \(2x\)。重力势能净减少 \(2mg(2x)-mgx=3mgx\)，末动能为 \(\frac12(2m)(\frac54v)^2+\frac12mv^2=\frac{33}{16}mv^2\)。故 \(x=\frac{11v^2}{16g}\)，A 下降 \(2x=\frac{11v^2}{8g}\)，选 B。
易错点
- 漏掉 A 的质量为 \(2m\)
初学者探索过程
从“绳弹簧连接系统”开始探索
先把“例11：绳弹簧连接体”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例11：绳弹簧连接体”后，判断为什么“把 A、B 位移直接写成相等”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“关联速度分析、系统能量建模”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把 A、B 位移直接写成相等。
检查这个想法：先执行：先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v_B=v_A\cos\theta,\qquad \Delta E_{pA}+\Delta E_{pB}+\Delta E_s+\Delta E_k=0\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“关联速度分析”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“系统能量建模”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v_B=v_A\cos\theta,\qquad \Delta E_{pA}+\Delta E_{pB}+\Delta E_s+\Delta E_k=0\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“关联速度分析、系统能量建模”如何受条件变化控制。
现实同构案例
起重滑轮与机械连杆：现实中的“绳弹簧连接系统”
现实场景
起重机钢索、健身器械滑轮和机械连杆通过固定长度或固定接触关系，把一个部件的运动传递给另一个部件。
题目与现实如何对应
题目中的轻绳或轻杆对应现实中的钢索与连杆，端点速度对应执行器和负载的运动速度。 当前题目“例11：绳弹簧连接体”训练的“关联速度分析、系统能量建模”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v_B=v_A\cos\theta,\qquad \Delta E_{pA}+\Delta E_{pB}+\Delta E_s+\Delta E_k=0\]
更一般的模型关系是：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实绳索会伸长并具有质量。
- 滑轮轴承摩擦会使两侧张力不再严格相等。
带回原题想一想
把“例11：绳弹簧连接体”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”建立模型。可先使用：
\[v_B=v_A\cos\theta,\qquad \Delta E_{pA}+\Delta E_{pB}+\Delta E_s+\Delta E_k=0\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v_B=v_A\cos\theta,\qquad \Delta E_{pA}+\Delta E_{pB}+\Delta E_s+\Delta E_k=0\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：变质量变角度的绳弹簧连接体
定滑轮到竖直杆的水平距离为 \(d\)。质量为 \(M\) 的小球 \(A\) 沿杆运动，轻绳经滑轮连接质量为 \(m\) 的物块 \(B\)。初态连接 \(A\) 的绳水平，系统由静止释放；末态该绳与竖直杆夹角为 \(\theta\)，\(B\) 向上速度为 \(v\)。已知初末弹簧形变量大小相等、弹性势能相同，另一端物体末态速度为零。（1）求 A、B 的位移关系；（2）求末态 A 的速度；（3）由机械能守恒求 \(d\) 和 A 的下降高度；（4）代入 \(M=2m\)、\(\sin\theta=3/5\) 检验结果。
变式答案
**1. 绳长几何**
末态斜绳长为 \(d\csc\theta\)。因此
\[y_A=d\cot\theta,\qquad y_B=d(\csc\theta-1)\]
其中 \(y_A\) 为 A 下降高度，\(y_B\) 为 B 上升高度。
**2. 速度投影**
绳长变化率给出 \(v=v_A\cos\theta\)，故 \(v_A=v\sec\theta\)。
**3. 系统机械能守恒**
初末弹性势能相同，因此
\[Mg y_A-mg y_B=\frac12Mv^2\sec^2\theta+\frac12mv^2\]
解得
\[d=\frac{v^2(M\sec^2\theta+m)}{2g[M\cot\theta-m(\csc\theta-1)]},\qquad y_A=d\cot\theta\]
分母必须为正，系统才有足够的重力势能释放。
**4. 检验原模型参数**
代入 \(M=2m\)、\(\sin\theta=3/5\)、\(\cos\theta=4/5\)，得到
\[y_A=\frac{11v^2}{8g}\]
思路提示
**新增难点**
把原题固定质量和固定角度推广为通式，需要先做几何位移、再做速度投影，最后利用初末弹性势能相消建立系统能量方程。
真题拓展
轻绳拉动物块沿斜面匀速上行
高考真题 · 综合迁移
2019年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第3题
该真题与当前题同属“连接体与约束”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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