题目
在深井底同一点，以相同的初动能将两个质量不同的物体竖直向上抛向井口。选取地面为零势能面，不计空气阻力。在它们各自达到最大高度时，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 质量大的物体势能一定大
- B. 质量小的物体势能一定大
- C. 两个物体的势能一定相等
- D. 两个物体的势能可能相等
学习定位
机械能守恒
题族：竖直运动中的能量比较
训练能力：状态比较、能量方程
前置知识：动能、重力势能
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 写出井底势能
设井深为 \(H\)，地面为零势能面，则质量为 \(m\) 的物体在井底有 \(E_{p0}=-mgH\)。两物体的初动能均为 \(E_{k0}\)。
易错点
- 把井底势能写成正值
2. 用机械能守恒求最高点势能
上抛过程只有重力做功。最高点速度为零，所以 \(E_{p,\max}=E_{k0}-mgH\)。
3. 比较不同质量
初动能 \(E_{k0}\) 和井深 \(H\) 相同，质量越小，减去的 \(mgH\) 越小，因此最高点势能越大。两质量不同且 \(H\gt0\)，势能不可能相等，故选 B。
易错点
- 只比较最高点高度，忽略势能还含质量因子
初学者探索过程
从“竖直运动中的能量比较”开始探索
先把“例2：深井等初动能上抛”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例2：深井等初动能上抛”后，判断为什么“把井底势能写成正值”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“状态比较、能量方程”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把井底势能写成正值。
检查这个想法：先执行：先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[E_{p,\max}=E_{k0}-mgH\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“状态比较”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“能量方程”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[E_{p,\max}=E_{k0}-mgH\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“状态比较、能量方程”如何受条件变化控制。
现实同构案例
过山车与储能装置：现实中的“竖直运动中的能量比较”
现实场景
过山车、抽水蓄能和弹簧储能装置都在动能与势能之间转换，并通过摩擦和驱动补偿能量损失。
题目与现实如何对应
题目中的高度、速度和弹性形变对应设备的重力势能、动能和弹性势能状态。 当前题目“例2：深井等初动能上抛”训练的“状态比较、能量方程”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[E_{p,\max}=E_{k0}-mgH\]
更一般的模型关系是：
\[E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\]
机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力和滚动摩擦会造成机械能损失。
- 真实设备还要满足结构强度和舒适性约束。
带回原题想一想
把“例2：深井等初动能上抛”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能”建立模型。可先使用：
\[E_{p,\max}=E_{k0}-mgH\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[E_{p,\max}=E_{k0}-mgH\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：等初动能与参考面转换
深井井口与地面等高，井深为 \(H\)。从井底同一点分别竖直上抛质量为 \(m\) 和 \(2m\) 的小球，两球的初动能均为 \(E_0\)，不计空气阻力。以地面为零势能面时，质量为 \(m\) 的小球最高恰能到达地面上方 \(H\) 处。（1）求共同初动能 \(E_0\)；（2）求质量为 \(2m\) 的小球最高点相对地面的高度；（3）比较两球最高点的重力势能；（4）若改以井底为零势能面，再比较两球最高点的重力势能，并解释比较结果为什么发生变化。
变式答案
**1. 由质量为 m 的小球反求初动能**
以地面为零势能面，井底势能为 \(-mgH\)，最高点势能为 \(mgH\)。由机械能守恒：
\[E_0-mgH=mgH\]
所以 \(E_0=2mgH\)。
**2. 求质量为 2m 的小球最高点**
它在井底的机械能为 \(E_0-2mgH=0\)。设最高点相对地面的高度为 \(y_2\)，则 \(2mgy_2=0\)，故 \(y_2=0\)，即最高点恰在井口。
**3. 以地面为零势能面比较**
质量为 \(m\) 的小球最高点势能为 \(mgH\)，质量为 \(2m\) 的小球最高点势能为 \(0\)，前者较大。
**4. 改以井底为零势能面比较**
两个最高点分别高出井底 \(2H\) 和 \(H\)，因此 \(E'_{p,m}=mg\cdot2H=2mgH\)，\(E'_{p,2m}=2mg\cdot H=2mgH\)，两者相等。更换参考面时，不同质量物体的势能各自增加 \(m_i gH\)，所以势能大小关系可以改变；但每个物体的势能差、重力做功和实际运动均不改变。
思路提示
**考点变化**
本题先利用其中一个小球的最高点反求共同初动能，再处理另一个质量不同的小球，最后加入参考面切换。
**建模顺序**
以地面为零势能面时，两球在井底的势能分别为 \(-mgH\) 与 \(-2mgH\)。虽然初动能相同，但初始机械能不同。分别把各自井底机械能搬到最高点，再根据新的零势能面重新计算势能。不能把“相同初动能”误认为“在任意参考面下最高点势能都相同”。
真题拓展
烟花弹上升、爆炸与最大高度
高考真题 · 同一考点
2018年全国新课标Ⅰ卷 · 物理选考第11题
该真题与当前题同属“机械能守恒”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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