题目
如图，质量 \(m=0.5\,\mathrm{kg}\) 的小球从桌面上方 \(h_1=1.2\,\mathrm m\) 的 \(A\) 点落到地面的 \(B\) 点，桌面高 \(h_2=0.8\,\mathrm m\)。分别以桌面和地面为零势能面，填写小球在 \(A,B\) 两点的重力势能、下落过程重力做功和重力势能变化。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。
学习定位
机械能守恒
题族：重力势能参考面
训练能力：参考面选择、势能差计算
前置知识：功的正负、重力势能
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参考答案
分步解析
1. 确定相对高度
**解题思路**
先确定零势能面，再把各点相对该参考面的高度记为带正负号的 \(y\)。参考面上方取正，下方取负。
**对应公式**
\[E_p=mgy\]
**本题应用**
以桌面为零势能面时，\(y_A=h_1=1.2\,\mathrm m\)，\(y_B=-h_2=-0.8\,\mathrm m\)；以地面为零势能面时，\(y_A=h_1+h_2=2.0\,\mathrm m\)，\(y_B=0\)。
易错点
- 把参考面以下的重力势能误写成正值
2. 分别计算两点势能
**解题思路**
质量和重力加速度不变，重力势能的数值只由相对所选参考面的有符号高度决定。更换参考面后，应重新确定每一点的 \(y\)。
**对应公式**
\[E_{pA}=mgy_A,\qquad E_{pB}=mgy_B\]
**本题应用**
以桌面为参考面有 \(E_{pA}=0.5\times10\times1.2=6\,\mathrm J\)，\(E_{pB}=0.5\times10\times(-0.8)=-4\,\mathrm J\)。以地面为参考面有 \(E_{pA}=0.5\times10\times2=10\,\mathrm J\)，\(E_{pB}=0\)。
3. 比较重力做功与势能变化
**解题思路**
重力做功由始末位置的实际高度差决定，与零势能面的选择无关；重力势能变化量始终等于重力做功的相反数。
**对应公式**
\[W_G=mg(y_A-y_B),\qquad \Delta E_p=E_{pB}-E_{pA}=-W_G\]
**本题应用**
总下降高度为 \(h_1+h_2=2.0\,\mathrm m\)，所以 \(W_G=mg(h_1+h_2)=10\,\mathrm J\)。无论选哪个参考面，\(\Delta E_p=E_{pB}-E_{pA}=-10\,\mathrm J=-W_G\)。
易错点
- 误认为更换参考面会改变重力做功或势能变化量
初学者探索过程
从“重力势能参考面”开始探索
先把“例1：重力势能参考面”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例1：重力势能参考面”后，判断为什么“把参考面以下的重力势能误写成正值”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“参考面选择、势能差计算”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把参考面以下的重力势能误写成正值。
检查这个想法：先执行：先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[W_G=mg(y_A-y_B),\qquad \Delta E_p=E_{pB}-E_{pA}=-W_G\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“参考面选择”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“势能差计算”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[W_G=mg(y_A-y_B),\qquad \Delta E_p=E_{pB}-E_{pA}=-W_G\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“参考面选择、势能差计算”如何受条件变化控制。
现实同构案例
过山车与储能装置：现实中的“重力势能参考面”
现实场景
过山车、抽水蓄能和弹簧储能装置都在动能与势能之间转换，并通过摩擦和驱动补偿能量损失。
题目与现实如何对应
题目中的高度、速度和弹性形变对应设备的重力势能、动能和弹性势能状态。 当前题目“例1：重力势能参考面”训练的“参考面选择、势能差计算”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[W_G=mg(y_A-y_B),\qquad \Delta E_p=E_{pB}-E_{pA}=-W_G\]
更一般的模型关系是：
\[E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\]
机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力和滚动摩擦会造成机械能损失。
- 真实设备还要满足结构强度和舒适性约束。
带回原题想一想
把“例1：重力势能参考面”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能”建立模型。可先使用：
\[W_G=mg(y_A-y_B),\qquad \Delta E_p=E_{pB}-E_{pA}=-W_G\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[W_G=mg(y_A-y_B),\qquad \Delta E_p=E_{pB}-E_{pA}=-W_G\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：由势能反求参考面
以地面为高度坐标零点，质量 \(m=0.5\,\mathrm{kg}\) 的小球位于 \(A\) 点时高度为 \(y_A=8\,\mathrm m\)，落入坑底 \(B\) 点时高度为 \(y_B=-2\,\mathrm m\)。在某一零势能面的选取下，小球在 \(A\) 点的重力势能为 \(15\,\mathrm J\)。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。（1）求该零势能面相对地面的高度 \(y_0\)；（2）求小球在 \(B\) 点的重力势能；（3）求从 \(A\) 到 \(B\) 的重力做功与重力势能变化；（4）若改以 \(B\) 点为零势能面，重新写出 \(A,B\) 两点的重力势能，并说明哪些物理量保持不变。
变式答案
**1. 反求零势能面**
由 \(E_{pA}=mg(y_A-y_0)\)，有 \(15=0.5\times10\times(8-y_0)\)，解得 \(y_0=5\,\mathrm m\)。
**2. 计算 B 点势能**
\[E_{pB}=mg(y_B-y_0)=0.5\times10\times(-2-5)=-35\,\mathrm J\]
**3. 求重力功与势能变化**
小球总下降高度为 \(y_A-y_B=10\,\mathrm m\)，所以 \(W_G=mg(y_A-y_B)=50\,\mathrm J\)，并且 \(\Delta E_p=E_{pB}-E_{pA}=-50\,\mathrm J=-W_G\)。
**4. 改以 B 点为零势能面**
此时 \(E'_{pA}=mg(y_A-y_B)=50\,\mathrm J\)，\(E'_{pB}=0\)。势能值发生整体平移，但 \(W_G=50\,\mathrm J\) 与 \(\Delta E_p=-50\,\mathrm J\) 均保持不变。
思路提示
**考点变化**
本题不直接给出零势能面，而是先给一个点的势能，要求反推出参考面位置。
**建模顺序**
先把相对地面的几何高度记为 \(y\)，把零势能面高度记为 \(y_0\)，统一使用 \(E_p=mg(y-y_0)\)。反求 \(y_0\) 后再计算其他位置。更换参考面只会给同一物体各点的势能加上同一个常量，不会改变 \(\Delta E_p\) 和重力做功。
真题拓展
烟花弹上升、爆炸与最大高度
高考真题 · 同一考点
2018年全国新课标Ⅰ卷 · 物理选考第11题
该真题与当前题同属“重力势能参考面”题族，核心约束、主方程和边界检查一致；差别主要在情境、数据或设问层级。
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