题目
（多选）某人将质量为 \(m\)、静止在水平地面 \(A\) 点的足球以速度 \(v_0\) 斜向上踢起。足球到达离地高度为 \(h\) 的 \(B\) 点，取 \(B\) 处为零势能参考面，重力加速度为 \(g\)，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 足球在 A 点的机械能为 \(\frac12mv_0^2-mgh\)
- B. 运动员对足球做的功为 \(\frac12mv_0^2\)
- C. 足球在 B 点的机械能为 \(0\)
- D. 足球在 B 点的机械能为 \(\frac12mv_0^2-mgh\)
学习定位
机械能守恒
题族：重力势能参考面
训练能力：参考面选择、物理量逐项判断
前置知识：重力势能、机械能
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 确定 A 点势能
B 点比 A 点高 \(h\)，又取 B 处为零势能面，所以 \(E_{pA}=-mgh\)。刚踢出时 \(E_{kA}=\frac12mv_0^2\)，故 \(E_A=\frac12mv_0^2-mgh\)，A 正确。
易错点
- 把 A 点势能写成正的 \(mgh\)
2. 求运动员做功
足球由静止到刚离脚，动能增加 \(\frac12mv_0^2\)。忽略踢球瞬间重心高度变化，运动员对足球做功 \(W=\Delta E_k=\frac12mv_0^2\)，B 正确。
3. 把机械能搬到 B 点
离脚后只有重力做功，足球机械能守恒。因此 \(E_B=E_A=\frac12mv_0^2-mgh\)，D 正确而 C 错。答案为 A、B、D。
易错点
- 把零势能点误认为机械能为零
初学者探索过程
从“重力势能参考面”开始探索
先把“例4：足球机械能与参考面”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例4：足球机械能与参考面”后，判断为什么“把参考面以下的重力势能误写成正值”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“参考面选择、物理量逐项判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把参考面以下的重力势能误写成正值。
检查这个想法：先执行：先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[E_{pA}=-mgh,\qquad E_A=\frac12mv_0^2-mgh,\qquad E_B=E_A\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“参考面选择”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“物理量逐项判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[E_{pA}=-mgh,\qquad E_A=\frac12mv_0^2-mgh,\qquad E_B=E_A\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“参考面选择、物理量逐项判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
过山车与储能装置：现实中的“重力势能参考面”
现实场景
过山车、抽水蓄能和弹簧储能装置都在动能与势能之间转换，并通过摩擦和驱动补偿能量损失。
题目与现实如何对应
题目中的高度、速度和弹性形变对应设备的重力势能、动能和弹性势能状态。 当前题目“例4：足球机械能与参考面”训练的“参考面选择、物理量逐项判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[E_{pA}=-mgh,\qquad E_A=\frac12mv_0^2-mgh,\qquad E_B=E_A\]
更一般的模型关系是：
\[E_{k1}+E_{p1}=E_{k2}+E_{p2}\]
机械能是否守恒取决于系统边界和非保守力做功，而不是取决于轨迹形状，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 空气阻力和滚动摩擦会造成机械能损失。
- 真实设备还要满足结构强度和舒适性约束。
带回原题想一想
把“例4：足球机械能与参考面”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先选系统并检查是否只有保守力做功，再比较初末机械能”建立模型。可先使用：
\[E_{pA}=-mgh,\qquad E_A=\frac12mv_0^2-mgh,\qquad E_B=E_A\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[E_{pA}=-mgh,\qquad E_A=\frac12mv_0^2-mgh,\qquad E_B=E_A\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：有限踢球过程与参考面
质量为 \(m\) 的足球最初静止在地面 \(A\) 点。运动员踢球过程中，球心从高度 \(0\) 上升到 \(\delta\) 后在 \(C\) 点离脚，离脚速度为 \(v_0\)。随后足球到达高度为 \(h\) 的 \(B\) 点，取 \(B\) 点为零势能面，不计离脚后的空气阻力。（1）求运动员对足球做的功；（2）求足球在 \(C\) 点和 \(B\) 点的机械能；（3）求 \(B\) 点速度；（4）若改以地面为零势能面，机械能数值如何变化，运动员做功是否改变？
变式答案
**1. 踢球阶段用动能定理**
\[W_{\text{人}}-mg\delta=\frac12mv_0^2\]
故 \(W_{\text{人}}=\frac12mv_0^2+mg\delta\)。
**2. 以 B 为零势能面**
\[E_C=\frac12mv_0^2+mg(\delta-h)\]
离脚后机械能守恒，所以 \(E_B=E_C\)。
**3. 求 B 点速度**
B 点势能为零，因此
\[\frac12mv_B^2=\frac12mv_0^2+mg(\delta-h)\]
即 \(v_B^2=v_0^2-2g(h-\delta)\)。
**4. 更换参考面**
改以地面为零势能面后，各状态机械能都增加 \(mgh\)；运动员做功、速度和机械能变化量均不改变。
思路提示
**新增难点**
不再忽略踢球过程中球心的高度变化，因此运动员做功不等于单纯的动能增量；还要把接触阶段和离脚后的守恒阶段分开。
真题拓展
烟花弹上升、爆炸与最大高度
高考真题 · 同一考点
2018年全国新课标Ⅰ卷 · 物理选考第11题
该真题与当前题同属“重力势能参考面”题族，核心约束、主方程和边界检查一致；差别主要在情境、数据或设问层级。
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