题目
（多选）轻杆长 \(3L\)，A、B 两端分别固定质量均为 \(m\) 的球。距 A 为 \(L\) 的 O 点装在光滑水平轴上，杆和球在竖直面内转动。若球 B 到最高点时对杆恰好无作用力，忽略空气阻力。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. B 在最高点速度为 \(\sqrt{gL}\)
- B. B 在最高点时，杆对 A 的作用力为 \(\frac32mg\)
- C. B 在最低点速度为 \(\sqrt{5gL}\)
- D. 从最高点到最低点，杆对 B 做功为 \(-\frac{12}{5}mgL\)
学习定位
连接体与约束
题族：刚性连接体转动
训练能力：整体能量建模、圆周运动临界判断
前置知识：角速度关联、向心力
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 用 B 最高点临界条件求角速度
B 到 O 的距离为 \(2L\)。最高点杆对 B 无作用力，只有重力提供向心力：\(mg=m v_B^2/(2L)\)，所以 \(v_B=\sqrt{2gL}\)，A 错。角速度满足 \(\omega^2=g/(2L)\)。
易错点
- 把 B 的转动半径误写成 \(L\)
2. 求杆对 A 的作用力
最高点时 A 位于 O 下方，\(v_A=\omega L=\sqrt{gL/2}\)。向心方向向上，设杆对 A 向上作用力为 F，则 \(F-mg=mv_A^2/L=mg/2\)，故 \(F=3mg/2\)，B 正确。
3. 由系统机械能求最低点速度
从 B 最高点到最低点，系统重力势能减少 \(2mgL\)。总转动动能为 \(\frac12m\omega^2(L^2+4L^2)\)。计算得最低点 \(v_B^2=\frac{26}{5}gL\)，并非 \(5gL\)，C 错。
易错点
- 只计算 B 的势能和动能
4. 单独研究 B 求杆功
B 的动能增加 \(\Delta E_{kB}=\frac12m(\frac{26}{5}gL-2gL)=\frac85mgL\)，重力对 B 做功 \(W_G=4mgL\)。由动能定理 \(W_{\mathrm{杆}}=\Delta E_{kB}-W_G=-\frac{12}{5}mgL\)，D 正确。
易错点
- 认为系统内力对每个物体都不做功
初学者探索过程
从“刚性连接体转动”开始探索
先把“B组第9题：偏心轻杆双球”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“B组第9题：偏心轻杆双球”后，判断为什么“误认为两球线速度相同”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“整体能量建模、圆周运动临界判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：误认为两球线速度相同。
检查这个想法：先执行：先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[mg=m\frac{v_{B\text{顶}}^2}{2L},\qquad \Delta E_{k,\text{系统}}=-\Delta E_p,\qquad W_{\text{杆},B}=\Delta E_{kB}-W_{GB}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“同轴角速度关联”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“圆周运动临界判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[mg=m\frac{v_{B\text{顶}}^2}{2L},\qquad \Delta E_{k,\text{系统}}=-\Delta E_p,\qquad W_{\text{杆},B}=\Delta E_{kB}-W_{GB}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“整体能量建模、圆周运动临界判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
起重滑轮与机械连杆：现实中的“刚性连接体转动”
现实场景
起重机钢索、健身器械滑轮和机械连杆通过固定长度或固定接触关系，把一个部件的运动传递给另一个部件。
题目与现实如何对应
题目中的轻绳或轻杆对应现实中的钢索与连杆，端点速度对应执行器和负载的运动速度。 当前题目“B组第9题：偏心轻杆双球”训练的“整体能量建模、圆周运动临界判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[mg=m\frac{v_{B\text{顶}}^2}{2L},\qquad \Delta E_{k,\text{系统}}=-\Delta E_p,\qquad W_{\text{杆},B}=\Delta E_{kB}-W_{GB}\]
更一般的模型关系是：
\[v_A\cos\alpha=v_B\cos\beta\]
约束只要求沿有效约束方向的速度分量满足同一个几何关系，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实绳索会伸长并具有质量。
- 滑轮轴承摩擦会使两侧张力不再严格相等。
带回原题想一想
把“B组第9题：偏心轻杆双球”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先写长度、接触或几何约束，再把各物体速度投影到共同约束方向”建立模型。可先使用：
\[mg=m\frac{v_{B\text{顶}}^2}{2L},\qquad \Delta E_{k,\text{系统}}=-\Delta E_p,\qquad W_{\text{杆},B}=\Delta E_{kB}-W_{GB}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[mg=m\frac{v_{B\text{顶}}^2}{2L},\qquad \Delta E_{k,\text{系统}}=-\Delta E_p,\qquad W_{\text{杆},B}=\Delta E_{kB}-W_{GB}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：偏心双球的通式与杆功
轻杆两侧分别固定质量为 \(m_A,m_B\) 的小球，距转轴半径为 \(r_A,r_B\)。当 \(B\) 球位于最高点、\(A\) 球位于最低点时，杆对 \(B\) 恰无作用力；随后系统转过 \(180^\circ\)，\(B\) 到达最低点。忽略阻力。（1）求最高点角速度；（2）求最低点角速度；（3）判断角速度增大的条件；（4）求该过程中杆对 \(B\) 做的功，并用 \(m_A=m_B=m,r_A=L,r_B=2L\) 检验。
变式答案
**1. 最高点临界条件**
\[m_Bg=m_B\omega_t^2r_B\]
故 \(\omega_t^2=g/r_B\)。
**2. 对双球系统用机械能守恒**
转动惯量 \(I=m_Ar_A^2+m_Br_B^2\)。从最高点到最低点：
\[\omega_b^2=\omega_t^2+\frac{4g(m_Br_B-m_Ar_A)}{I}\]
**3. 判断快慢变化**
当 \(m_Br_B\gt m_Ar_A\) 时，系统重力势能净减少，角速度增大；等号成立时角速度不变。
**4. 单独研究 B 球**
\[W_{\text{杆},B}=\frac12m_Br_B^2(\omega_b^2-\omega_t^2)-2m_Bgr_B\]
代入 \(m_A=m_B=m,r_A=L,r_B=2L\)，得 \(W_{\text{杆},B}=-\frac{12}{5}mgL\)。
思路提示
**新增难点**
先对整体用机械能守恒求角速度，再把 B 球单独隔离，用动能定理反求杆功；同一个杆力对整体是内力，对单球却必须计功。
真题拓展
轻绳拉动物块沿斜面匀速上行
高考真题 · 综合迁移
2019年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第3题
该真题与当前题同属“连接体与约束”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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