题目
（多选）轻弹簧支撑质量忽略的平台 \(PQ\)，弹簧下端固定在地面。质量为 \(m\) 的金属球从高处落下。从球碰到 \(PQ\) 到弹簧压缩最短，弹簧始终发生弹性形变。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 金属球、地球与弹簧构成的系统机械能守恒
- B. 在某个阶段内，球的动能增加而球的机械能减少
- C. 球碰上 PQ 后动能立即减少，弹簧最短时弹性势能最大
- D. 球受到的弹力与重力大小相等时，球的动能最大
学习定位
弹簧与机械能
题族：落体压缩弹簧
训练能力：研究系统选择、动能极值判断
前置知识：弹性势能、机械能守恒
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 选择系统
把金属球、地球和弹簧作为系统，重力势能和弹性势能都属于系统内部能量；平台质量忽略且无耗散，因此 \(E_k+E_{pg}+E_{pe}\) 守恒，A 正确。
易错点
- 只把小球作为系统却直接说机械能守恒
2. 判断接触后的速度变化
刚接触时弹力小于重力，球仍向下加速，动能增加；同时弹簧对球做负功，球自身的 \(E_k+E_{pg}\) 减少，所以 B 正确，C 的“立即减少”错误。
易错点
- 认为碰到弹簧后速度立刻减小
3. 确定动能最大位置
压缩量增大到 \(kx=mg\) 时合力为零，速度由增大转为减小，动能取最大值。最大压缩处速度为零、弹性势能最大，但 C 的前半句错误，故答案为 A、B、D。
易错点
- 把最大压缩位置与平衡位置混为一处
初学者探索过程
从“落体压缩弹簧”开始探索
先把“例6：落球压缩弹簧”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例6：落球压缩弹簧”后，判断为什么“只把小球作为系统却直接说机械能守恒”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“研究系统选择、动能极值判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：只把小球作为系统却直接说机械能守恒。
检查这个想法：先执行：先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[E_k+mgy+\frac12kx^2=\text{常量},\qquad ma=mg-kx,\qquad E_k\ \text{最大时}\ kx=mg\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“研究系统选择”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“动能极值判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[E_k+mgy+\frac12kx^2=\text{常量},\qquad ma=mg-kx,\qquad E_k\ \text{最大时}\ kx=mg\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“研究系统选择、动能极值判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弹簧发射器与缓冲机构：现实中的“落体压缩弹簧”
现实场景
弹簧发射器、车辆缓冲器和机械储能装置利用弹性形变暂存能量，再把能量释放给运动部件。
题目与现实如何对应
题目中的弹簧和物块对应储能元件与负载，压缩量和速度对应储能状态和释放效果。 当前题目“例6：落球压缩弹簧”训练的“研究系统选择、动能极值判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[E_k+mgy+\frac12kx^2=\text{常量},\qquad ma=mg-kx,\qquad E_k\ \text{最大时}\ kx=mg\]
更一般的模型关系是：
\[E_{p,s}=\frac12kx^2\]
理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实弹簧存在质量和内耗。
- 碰撞、摩擦和限位结构会带来额外能量损失。
带回原题想一想
把“例6：落球压缩弹簧”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态”建立模型。可先使用：
\[E_k+mgy+\frac12kx^2=\text{常量},\qquad ma=mg-kx,\qquad E_k\ \text{最大时}\ kx=mg\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[E_k+mgy+\frac12kx^2=\text{常量},\qquad ma=mg-kx,\qquad E_k\ \text{最大时}\ kx=mg\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：落球压簧全过程的两个特殊点
质量为 \(m\) 的小球从未压缩轻弹簧上端正上方 \(H\) 处由静止释放，落到质量忽略的平台后压缩劲度系数为 \(k\) 的弹簧。以首次接触平台时弹簧压缩量 \(x=0\)。（1）求压缩量为 \(x\) 时的小球速度；（2）求速度最大时的压缩量及最大速度；（3）求最大压缩量；（4）比较速度最大点与最大压缩点的位置。
变式答案
**1. 写全过程能量关系**
小球从释放点到压缩量 \(x\) 处共下降 \(H+x\)：
\[mg(H+x)=\frac12mv^2+\frac12kx^2\]
所以 \(v^2=2g(H+x)-\frac{k}{m}x^2\)。
**2. 求最大速度**
由合力为零或对 \(v^2(x)\) 求极值得
\[x_*=\frac{mg}{k},\qquad v_{\max}^2=2gH+\frac{mg^2}{k}\]
**3. 求最大压缩量**
令 \(v=0\)，取正根：
\[x_{\max}=\frac{mg+\sqrt{m^2g^2+2kmgH}}{k}\]
**4. 比较位置**
当 \(H\gt0\) 时，\(x_{\max}\gt2mg/k\gt x_*\)。因此小球先在合力为零处达到最大速度，继续向下减速后才到最大压缩位置。
思路提示
**新增难点**
同一能量函数同时用于求任意位置速度、最大速度和最大压缩量，并通过不等式比较两个特殊位置。