题目
（多选）质量为 \(m\) 的物体从静止出发，以加速度 \(\frac34g\) 竖直下降高度 \(h\)。则此过程中（ ）。
选项
- A. 物体动能增加了 \(\frac34mgh\)
- B. 物体机械能减少了 \(\frac14mgh\)
- C. 物体重力势能减少了 \(mgh\)
- D. 物体机械能守恒
学习定位
功率、动能与功能关系
题族：非保守力与机械能变化
训练能力：非保守力判断、机械能变化计算
前置知识：匀变速运动、机械能
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参考答案
分步解析
1. 由运动学求末速度
物体由静止下降 \(h\)，有 \(v^2=2ah=2\times\frac34gh=\frac32gh\)。
2. 计算动能和势能变化
\(\Delta E_k=\frac12mv^2=\frac34mgh\)，所以 A 正确；下降 \(h\) 使 \(\Delta E_p=-mgh\)，即势能减少 \(mgh\)，C 正确。
易错点
- 把势能减少量写成负的“大小”
3. 合成机械能变化
\(\Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p=\frac34mgh-mgh=-\frac14mgh\)。机械能减少 \(\frac14mgh\)，故 B 正确、D 错，答案为 A、B、C。
易错点
- 看到竖直运动就默认只有重力做功
初学者探索过程
从“非保守力与机械能变化”开始探索
先把“例9：匀加速竖直下降”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例9：匀加速竖直下降”后，判断为什么“把沿斜面位移直接当竖直高度”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“非保守力判断、机械能变化计算”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把沿斜面位移直接当竖直高度。
检查这个想法：先执行：先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[v^2=2ah,\qquad \Delta E_k=\frac12mv^2,\qquad \Delta E_p=-mgh,\qquad \Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“外力做功计算”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“机械能变化计算”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[v^2=2ah,\qquad \Delta E_k=\frac12mv^2,\qquad \Delta E_p=-mgh,\qquad \Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“非保守力判断、机械能变化计算”如何受条件变化控制。
现实同构案例
车辆动力、制动与能耗：现实中的“非保守力与机械能变化”
现实场景
车辆加速、制动、起重和工业驱动都需要把功率输入与速度变化、阻力损耗和工作时间联系起来。
题目与现实如何对应
题目中的力、位移、速度和功率对应现实设备的驱动力、行程、运行状态和能源输出。 当前题目“例9：匀加速竖直下降”训练的“非保守力判断、机械能变化计算”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[v^2=2ah,\qquad \Delta E_k=\frac12mv^2,\qquad \Delta E_p=-mgh,\qquad \Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p\]
更一般的模型关系是：
\[\sum W=\Delta E_k\]
合力总功等于动能变化；某种能量的变化必须与对应做功过程匹配，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实驱动系统存在效率损失。
- 阻力和输出功率通常随速度变化。
带回原题想一想
把“例9：匀加速竖直下降”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先确定研究对象和过程，再逐一判断各力做功的正负”建立模型。可先使用：
\[v^2=2ah,\qquad \Delta E_k=\frac12mv^2,\qquad \Delta E_p=-mgh,\qquad \Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[v^2=2ah,\qquad \Delta E_k=\frac12mv^2,\qquad \Delta E_p=-mgh,\qquad \Delta E=\Delta E_k+\Delta E_p\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：张力下降后再自由落体
质量为 \(m\) 的物体由静止开始下降。前一段受到恒定向上张力 \(T=\lambda mg\)，其中 \(0\lt\lambda\lt1\)，下降高度 \(h\) 后绳突然断开；随后物体再自由下落高度 \(H\)。（1）求断绳瞬间速度；（2）求第一阶段动能、势能和机械能变化；（3）求最终速度；（4）求全过程机械能变化，并说明它与哪一个力的功相等。
变式答案
**1. 第一阶段速度**
加速度为 \((1-\lambda)g\)，所以
\[v_1^2=2(1-\lambda)gh\]
**2. 第一阶段能量变化**
\[\Delta E_{k1}=(1-\lambda)mgh,\qquad \Delta E_{p1}=-mgh\]
因此 \(\Delta E_1=-\lambda mgh\)，恰等于张力做功 \(W_T=-Th\)。
**3. 断绳后的自由落体**
第二阶段机械能守恒：
\[v_2^2=v_1^2+2gH=2g[(1-\lambda)h+H]\]
**4. 全过程机械能变化**
第二阶段没有非保守力做功，所以全过程机械能变化仍为
\[\Delta E=-\lambda mgh\]
它只由第一阶段张力的负功决定。
思路提示
**新增难点**
把受控下降和自由落体串联起来，要求分别记账后再合并；重点是机械能变化只发生在张力做功的阶段。
真题拓展
高速列车通过隧道的最短时间
高考真题 · 同一考点
2022年全国甲卷 · 物理部分第2题
该真题与当前题同属“功率、动能与功能关系”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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