题目
（多选）竖直光滑杆固定，套在杆上的轻弹簧下端固定。将滑块向下压缩弹簧至离地高度 \(h=0.1\,\mathrm m\) 处，滑块与弹簧不拴接，由静止释放。传感器得到滑块的 \(E_k-h\) 图像：\(0.2\,\mathrm m\) 到 \(0.35\,\mathrm m\) 为从 \(0.30\,\mathrm J\) 线性降至零的直线，其余部分为曲线。以地面为零势能面，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 小滑块质量为 \(0.2\,\mathrm{kg}\)
- B. 弹簧最大弹性势能为 \(0.7\,\mathrm J\)
- C. 轻弹簧初始压缩量为 \(0.25\,\mathrm m\)
- D. 滑块重力势能与弹簧弹性势能总和的最小值为 \(0.38\,\mathrm J\)
学习定位
弹簧与机械能
题族：弹簧分离与能量图像
训练能力：能量图像读取、分段过程判断
前置知识：弹性势能、动能定理
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 用直线斜率求质量
滑块在 \(h=0.2\sim0.35\,\mathrm m\) 已与弹簧分离，只有重力做功，因此图线斜率为 \(-mg\)。由 \(\frac{0-0.30}{0.35-0.20}=-2\,\mathrm{N}\)，得 \(m=0.2\,\mathrm{kg}\)，A 正确。
易错点
- 把直线段仍当作受弹簧作用
2. 求系统总机械能与初始弹性势能
最高点 \(h=0.35\,\mathrm m\) 时 \(E_k=0\)，总机械能 \(E=mgh=0.7\,\mathrm J\)。初态重力势能为 \(0.2\,\mathrm J\)，故最大弹性势能为 \(0.7-0.2=0.5\,\mathrm J\)，B 错。
易错点
- 把系统总机械能直接当作弹性势能
3. 读压缩量与势能和最小值
曲线在 \(h=0.2\,\mathrm m\) 转为直线，说明弹簧原长对应 \(0.2\,\mathrm m\)，初始压缩量为 \(0.1\,\mathrm m\)，C 错。图像最大动能约为 \(0.32\,\mathrm J\)，故 \(E_{pg}+E_{pe}\) 的最小值为 \(0.70-0.32=0.38\,\mathrm J\)，D 正确。
易错点
- 把最高点高度与弹簧压缩量相减
初学者探索过程
从“弹簧分离与能量图像”开始探索
先把“例10：弹簧滑块动能—高度图”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“例10：弹簧滑块动能—高度图”后，判断为什么“把直线段仍当作受弹簧作用”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“能量图像读取、分段过程判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把直线段仍当作受弹簧作用。
检查这个想法：先执行：先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\frac{\mathrm dE_k}{\mathrm dh}=-mg,\qquad E=E_k+E_{pg}+E_{pe},\qquad (E_{pg}+E_{pe})_{\min}=E-E_{k,\max}\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“能量图像读取”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“分段过程判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\frac{\mathrm dE_k}{\mathrm dh}=-mg,\qquad E=E_k+E_{pg}+E_{pe},\qquad (E_{pg}+E_{pe})_{\min}=E-E_{k,\max}\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“能量图像读取、分段过程判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弹簧发射器与缓冲机构：现实中的“弹簧分离与能量图像”
现实场景
弹簧发射器、车辆缓冲器和机械储能装置利用弹性形变暂存能量，再把能量释放给运动部件。
题目与现实如何对应
题目中的弹簧和物块对应储能元件与负载，压缩量和速度对应储能状态和释放效果。 当前题目“例10：弹簧滑块动能—高度图”训练的“能量图像读取、分段过程判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\frac{\mathrm dE_k}{\mathrm dh}=-mg,\qquad E=E_k+E_{pg}+E_{pe},\qquad (E_{pg}+E_{pe})_{\min}=E-E_{k,\max}\]
更一般的模型关系是：
\[E_{p,s}=\frac12kx^2\]
理想弹簧的弹性势能只由形变量决定，弹力做功等于弹性势能减少量，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 真实弹簧存在质量和内耗。
- 碰撞、摩擦和限位结构会带来额外能量损失。
带回原题想一想
把“例10：弹簧滑块动能—高度图”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先把弹簧纳入系统，确定原长、形变量和初末状态”建立模型。可先使用：
\[\frac{\mathrm dE_k}{\mathrm dh}=-mg,\qquad E=E_k+E_{pg}+E_{pe},\qquad (E_{pg}+E_{pe})_{\min}=E-E_{k,\max}\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\frac{\mathrm dE_k}{\mathrm dh}=-mg,\qquad E=E_k+E_{pg}+E_{pe},\qquad (E_{pg}+E_{pe})_{\min}=E-E_{k,\max}\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：由动能—高度图重建弹簧参数
滑块套在竖直光滑杆上，与下方轻弹簧不拴接。滑块从高度 \(h_0\) 处压缩弹簧后由静止释放。其 \(E_k-h\) 图像先为曲线，在弹簧恢复原长的高度 \(h_s\) 处变为直线，此处动能为 \(K_s\)；直线在高度 \(h_t\) 处降为零。曲线段最大动能为 \(K_{\max}\)，且 \(h_0\lt h_s\lt h_t\)。（1）求滑块质量；（2）求系统总机械能和初始弹性势能；（3）求弹簧劲度系数；（4）求重力势能与弹性势能之和的最小值。
变式答案
**1. 由直线段求质量**
脱离弹簧后只有重力做功，故 \(K_s=mg(h_t-h_s)\)，从而
\[m=\frac{K_s}{g(h_t-h_s)}\]
**2. 重建总能量**
最高点动能为零，所以系统总机械能
\[E=mgh_t\]
初态动能为零，故初始弹性势能为 \(E_{s0}=mg(h_t-h_0)\)。
**3. 求劲度系数**
初始压缩量 \(x_0=h_s-h_0\)，因此
\[k=\frac{2E_{s0}}{x_0^2}=\frac{2mg(h_t-h_0)}{(h_s-h_0)^2}\]
**4. 求势能和最小值**
总能量恒定，故
\[(E_{pg}+E_{pe})_{\min}=E-K_{\max}=mgh_t-K_{\max}\]
思路提示
**新增难点**
不只利用直线斜率求质量，还要把分离点、最高点和最大动能点联合起来，反推出弹簧初始储能、劲度系数和势能和最小值。