题目
光滑水平面上固定一边长为 \(0.3\,\mathrm m\) 的正三棱柱 \(abc\)。长 \(1\,\mathrm m\) 的细绳一端固定在 \(a\) 点，另一端拴一质量为 \(0.5\,\mathrm{kg}\) 的小球。开始时细绳拉直在 \(ca\) 的延长线上，给小球一个 \(2\,\mathrm{m/s}\)、垂直细绳方向的水平速度，细绳逐渐缠绕在棱柱上，不计能量损失。若细绳能承受的最大拉力为 \(7\,\mathrm N\)，求从开始到细绳断裂时小球运动的总时间和位移大小。
学习定位
圆周运动动力学
题族：竖直圆周运动临界
训练能力：最高最低点受力、不断约束条件判断
前置知识：机械能守恒、向心力
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参考答案
分步解析
1. 确定速率与各段半径
水平面光滑且张力始终与瞬时速度垂直，张力不做功，所以速率保持 \(v=2\,\mathrm{m/s}\)。细绳依次绕三顶点转动，自由段半径为 \(1.0\)、\(0.7\)、\(0.4\)、\(0.1\,\mathrm m\)。
2. 判断断裂时刻
前三段所需张力分别为 \(mv^2/r=2\)、\(20/7\)、\(5\,\mathrm N\)，均不超过 \(7\,\mathrm N\)；即将进入半径 \(0.1\,\mathrm m\) 的第四段时所需张力跃升到 \(20\,\mathrm N\)，细绳立即断裂。
3. 计算总时间
每个顶点对应转角 \(120^\circ=2\pi/3\)。前三段弧长之和为 \((2\pi/3)(1+0.7+0.4)=1.4\pi\,\mathrm m\)，故 \(t=1.4\pi/2=0.7\pi\,\mathrm s\)。
4. 计算位移
取 \(a=(0,0)\)、初始小球在 \((-1,0)\)。断裂前小球位于 \((-0.1,0)\)，所以位移大小为 \(0.9\,\mathrm m\)。
初学者探索过程
从“竖直圆周运动临界”开始探索
先把“第16题：细绳缠绕三棱柱”还原成可复用的物理模型。下面两步先要求预测和解释，再展开检验。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 先排除本题最容易出现的误判
先回答：暂不代入数据。阅读“第16题：细绳缠绕三棱柱”后，判断为什么“把向心力当成物体额外受到的一种力”会导致错误，再写出研究对象、过程边界和首先要确定的“最高最低点受力、不断约束条件判断”。
我先想到：最值得警惕的不是算错，而是：把向心力当成物体额外受到的一种力。
检查这个想法：先执行：先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力。再检查题设中的方向、接触、阶段或临界条件是否已经进入模型。
修正之后：本题解析中的关键关系为：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
先建立关系，再决定哪些数值需要代入。
留下的方法：本题族的母题动作是“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”；看到新情境时应复用这个动作，而不是复用答案。
2. 观察会使“最高最低点受力”发生转折的条件
先回答：改变动画中的一个关键参数，指出哪个时刻、方向、图像趋势或临界条件最先发生变化；再说明“无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积”为什么仍成立。
我先想到：若只比较动画外观，我可能忽略“不断约束条件判断”已经改变。
检查这个想法：把变化前后都放回关系：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
逐项区分模型不变量与由参数决定的结果。
修正之后：真正保持的是：无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积。数值结论需要在新条件下重新计算并检查边界。
留下的方法：与同题族其他题相比，本题真正需要追踪的是“最高最低点受力、不断约束条件判断”如何受条件变化控制。
现实同构案例
弯道、转盘与旋转设备：现实中的“竖直圆周运动临界”
现实场景
车辆转弯、离心机、游乐设施和工业转盘都需要由接触力或约束力持续改变速度方向。
题目与现实如何对应
题目中的圆心、半径和转速对应设备的旋转轴、工作半径和运行转速；支持力、摩擦力或拉力对应现实中的结构载荷。 当前题目“第16题：细绳缠绕三棱柱”训练的“最高最低点受力、不断约束条件判断”正是完成这种映射时需要识别的量。
不变的物理模型
本题可使用关系：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
更一般的模型关系是：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
无论装置怎样变化，径向合力都必须等于质量与向心加速度的乘积，因而动画与现实案例共享同一控制结构。
现实中还要补上的因素
- 现实接触面的摩擦系数会随材料和温度变化。
- 高速转动还要考虑振动、形变和安全系数。
带回原题想一想
把“第16题：细绳缠绕三棱柱”改写成上述现实场景后，应测量哪三个物理量，怎样用同一主关系判断结果是否满足安全或运行边界？
查看参考答案与评分要点
参考答案
先测量题目所对应的状态量、控制参数和边界量，再按“先标出圆心方向，再判断哪些实际力提供径向合力”建立模型。可先使用：
\[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]
把测量值代入后，还必须检查方向、接触、阶段或临界条件；只有主方程和边界条件同时满足，现实结论才成立。
评分要点
- 指出现实对象与题目研究对象、过程边界的对应关系。
- 写出或说明关系 \[\sum F_r=m\frac{v^2}{r}=m\omega^2r\]，并解释关键变量。
- 说明至少一个现实修正因素，并完成安全或临界条件检查。
变式练习
进阶近似题：细绳缠绕正方形柱
光滑水平面上固定边长为 \(a\) 的正方形柱。长为 \(L\) 的轻绳一端固定在一个顶点，另一端拴质量 \(m\) 的小球；小球以速度 \(v\) 垂直于初始绳方向运动并使绳逐边缠绕。若绳的最大拉力为 \(T_{\max}\)，写出判断绳在哪一顶点后断裂的方法，并给出断裂前总运动时间的表达式。
变式答案
**分段半径**
每缠过一条边，自由绳长减少 \(a\)。第 \(j\) 段半径为 \(r_j=L-ja\)，其中 \(j=0,1,2,\ldots\)。
**张力判据**
每段张力为 \(T_j=mv^2/r_j\)。找到最小整数 \(n\)，使 \(T_n\gt T_{\max}\)；绳在进入第 \(n\) 段时断裂。
**累计转角**
正方形每个顶点转角为 \(\pi/2\)。断裂前完整经历第 \(0\) 到 \(n-1\) 段。
**总时间**
\[t=\frac{\pi}{2v}\sum_{j=0}^{n-1}(L-ja).\]
思路提示
**思路**
把连续轨迹拆成“固定顶点、固定半径”的圆弧段。先用 \(mv^2/r\) 找断裂发生在哪次半径跳变，再累计此前各段弧长。
真题拓展
摩天轮座舱的速度、合力与机械能
高考真题 · 高度同构
2019年江苏卷 · 第6题
该真题与当前题同属“圆周运动动力学”模型，但属于不同题族；用于综合迁移，需重新识别过程结构和边界条件。
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