题目
倾斜滑道高 \(h=0.6\,\mathrm m\)、水平底边长 \(L=0.8\,\mathrm m\)，与水平传送带平滑连接，传送带沿垂直于滑道的方向以 \(v=1\,\mathrm{m/s}\) 匀速运行。质量为 \(2\,\mathrm{kg}\) 的工件从滑道顶端由静止释放，工件与滑道及传送带间动摩擦因数均为 \(0.5\)，取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)，忽略连接处能量损失。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 工件滑上传送带时的速度大小为 \(2\,\mathrm{m/s}\)
- B. 工件在传送带上受到的摩擦力方向与传送带运动方向夹角为 \(45^\circ\)
- C. 为防止工件从传送带侧边滑落，传送带的最小宽度 \(d\) 为 \(0.4\,\mathrm m\)
- D. 工件在传送带上滑动过程中摩擦生热为 \(5\,\mathrm J\)
学习定位
传送带功能关系
题族：垂直传送带与相对运动
训练能力：二维相对运动、摩擦功与热量分配
前置知识：动能定理、相对位移
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 求进入传送带的速度
斜面长为 \(1\,\mathrm m\)，\(\sin\theta=0.6、\cos\theta=0.8\)。由动能定理 \(mgh-\mu mg\cos\theta\,s=mv_0^2/2\)，得 \(v_0=2\,\mathrm{m/s}\)。
2. 分析二维相对速度
取传送带方向为 \(y\) 轴、滑道方向为 \(x\) 轴，初始相对速度为 \(\vec v_r=(2,-1)\)，大小为 \(\sqrt5\)。摩擦方向与传送带方向夹角满足 \(\tan\phi=2\)，并非 \(45^\circ\)。
3. 求宽度和热量
相对滑动距离为 \(s_r=v_r^2/(2\mu g)=0.5\,\mathrm m\)，故热量 \(Q=\mu mgs_r=5\,\mathrm J\)。工件横向位移为 \(1/\sqrt5\,\mathrm m\approx0.447\,\mathrm m\)，不是 \(0.4\,\mathrm m\)。故 A、D 正确。
初学者探索过程
二维传送带先换到相对运动视角
我画出包裹对地速度和传送带速度，用两者之差判断接触面实际怎样滑。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “摩擦总与物体对地速度反向？”
先回答：请先写接触面的相对速度 \(\vec v_r=\vec v_{物}-\vec v_{带}\)，再据此判断物块所受滑动摩擦力方向。
我先想到：物块沿滑道方向进入，我想把摩擦画成沿滑道反向。
检查这个想法：传送带本身横向运动，接触面滑动方向由相对速度决定，不由物块对地速度单独决定。
修正之后：写 \(\vec v_r=\vec v_{物}-\vec v_{带}\)，摩擦与 \(\vec v_r\) 反向。
留下的方法：传送带题先判断相对滑动，再画摩擦。
2. 二维运动为何能变成一维
先回答：切换到传送带参考系后，相对速度方向在滑动过程中是否改变？若方向不变，如何把二维对地运动化成一条直线匀减速？
我先想到：两个方向都有运动，我准备分别列复杂方程。
检查这个想法：在带参考系中，摩擦始终与相对速度反向，相对速度只缩短而不转向。
修正之后：相对运动可按一条直线匀减速处理，再把相对位移投影到带宽方向。
留下的方法：选择合适参考系能把二维表象化成一维模型。
现实同构案例
分拣中心交叉入带：摩擦沿相对速度反方向
现实场景
包裹从斜滑槽横着滑上一条正在纵向运行的分拣带。包裹会一边向前加速、一边消除横向速度，轨迹不是简单直线。
题目与现实如何对应
滑槽出口速度和带速互相垂直，二者矢量差就是初始相对速度。滑动摩擦沿相对速度的反方向，直到包裹与带同速。
不变的物理模型
在传送带参考系中，包裹以 \(\vec v_r=\vec v_{物}-\vec v_{带}\) 做匀减速运动，减速度大小 \(\mu g\)。相对路程 \(s_r=v_r^2/(2\mu g)\)，热量 \(Q=\mu mgs_r\)。
现实中还要补上的因素
- 包裹可能转动，接触面摩擦也未必恒定。
- 带宽设计还要留包装尺寸、定位误差与安全边距。
带回原题想一想
为什么摩擦方向不能只说成“与包裹运动方向相反”，而必须先求包裹相对传送带的速度？
查看参考答案与评分要点
参考答案
滑动摩擦阻碍的是两个接触面之间的相对滑动。传送带本身在运动，所以包裹对地速度并不能代表包裹相对带面的滑动方向。应先求 \(\vec v_r=\vec v_{包/地}-\vec v_{带/地}\)，包裹所受滑动摩擦方向与 \(\vec v_r\) 相反。只有带面静止时，它才恰好与包裹对地速度反向。
评分要点
- 指出滑动摩擦阻碍接触面的相对运动。
- 写出或说明相对速度是两速度的矢量差。
- 说明传送带运动时摩擦不一定与包裹对地速度反向。
变式练习
进阶近似题：任意入射方向的传送带
物块以速度 \(u\) 沿与传送带方向成 \(\beta\) 的方向滑上传送带，带速为 \(V\)，动摩擦因数为 \(\mu\)。在物块最终与带同速前，求相对滑动时间、摩擦热以及垂直于带方向的最大位移。
变式答案
初始相对速度大小 \(w=\sqrt{u^2+V^2-2uV\cos\beta}\)。相对加速度大小为 \(\mu g\)，故 \(t=w/(\mu g)\)、相对路程 \(s_r=w^2/(2\mu g)\)、热量 \(Q=mw^2/2\)。垂带方向初速度为 \(u\sin\beta\)，摩擦加速度该分量为 \(-\mu g\,u\sin\beta/w\)，所以最大横向位移为 \(u\sin\beta\,w/(2\mu g)\)。
思路提示
**解题思路**
在传送带参考系中，相对速度矢量只缩短、不转向，问题化为沿固定方向的匀减速；最后把相对位移投影回带宽方向。
真题拓展
摆球碰撞、传送带与圆弧管道综合
高考真题 · 综合迁移
2022年浙江6月选考 · 第20题
真题同样要求在传送带上判断相对运动与摩擦方向，并把分段运动继续连接到后续轨道；原题的升级点是二维初速度与带速互相垂直。
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