题目
如图，一个质量为 \(m_1\) 的有孔小球套在竖直固定的光滑直杆上，通过一条跨过定滑轮的轻绳与质量为 \(m_2\) 的重物相连。定滑轮与直杆的水平距离为 \(d\)。将小球从与定滑轮等高的 A 处由静止释放，当小球沿直杆下滑 \(\dfrac34d\) 到 B 处时，下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 小球的速度与重物上升速度大小之比为 \(5:4\)
- B. 小球的速度与重物上升速度大小之比为 \(5:3\)
- C. 小球重力势能的减少量等于重物重力势能的增加量
- D. 小球机械能的减少量大于重物机械能的增加量
学习定位
连接体与约束
题族：绳约束速度投影
训练能力：关联速度投影、内力做功判断
前置知识：绳长约束、机械能守恒
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参考答案
分步解析
1. 写出绳长约束
设小球在滑轮下方的竖直距离为 \(y\)，斜绳长 \(s=\sqrt{d^2+y^2}\)。轻绳总长不变，重物上升速度大小等于 \(\dot s\)。
2. 求瞬时速度比
\(v_2=\dot s=\dfrac{y}{\sqrt{d^2+y^2}}v_1\)。在 B 点 \(y=3d/4\)、\(s=5d/4\)，所以 \(v_2=3v_1/5\)，即 \(v_1:v_2=5:3\)。
3. 判断机械能转移
杆和定滑轮光滑，绳张力在两个物体间转移机械能。对两物体整体机械能守恒，所以小球机械能减少量等于重物机械能增加量；但重力势能变化还要同时转化为动能。答案为 B。
初学者探索过程
绳两端速度不一定相等，我怎样发现约束
我先画出真正会改变长度的每一段绳，再用总绳长不变，而不是先背“沿绳速度相等”。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “同一根绳，两物体速度当然相等？”
先回答：小球竖直下落速度为 \(v_1\) 时，斜绳长度增加率等于 \(v_1\) 还是只等于其沿绳方向的投影？请先画速度投影。
我先想到：我差点直接写 \(v_1=v_2\)。
检查这个想法：小球竖直运动，斜绳只吸收它沿绳方向的速度分量；夹角变化时，绳长增加得比小球位移慢。
修正之后：写 \(s=\sqrt{d^2+y^2}\) 并求导，得到 \(v_2=(y/s)v_1\)。
留下的方法：遇到斜绳，先写几何长度再求导。
2. 能量变化不是只看势能
先回答：把两物体和绳看成系统时，下降物体减少的重力势能会分到哪些能量项？为什么不能直接令两端势能变化量相等？
我先想到：一个下降、一个上升，我想把两者重力势能变化直接写成相等。
检查这个想法：两物体都可能获得动能，势能差还要分配给动能。
修正之后：对整体用机械能守恒；张力只在两个物体之间转移机械能。
留下的方法：内力传能不等于两端重力势能等量变化。
现实同构案例
舞台吊景的斜拉索：卷入的绳速不等于物体速度
现实场景
剧场中，移动景片通过绕过定滑轮的钢索带动配重。当景片沿竖直导轨运动，而钢索斜着连向滑轮时，配重速度随夹角改变。
题目与现实如何对应
竖直景片对应杆上小球，配重对应 \(m_2\)，斜钢索对应长度为 \(s=\sqrt{d^2+y^2}\) 的绳段。配重只响应斜绳长度的变化率，而不是直接复制景片速度。
不变的物理模型
不可伸长绳给出长度约束；对 \(s=\sqrt{d^2+y^2}\) 求导得 \(v_2=(y/s)v_1\)，也就是把小球速度投影到绳方向。张力在两物体之间等量异号做功，使整体机械能守恒。
现实中还要补上的因素
- 真实钢索会伸长，滑轮有转动惯量和轴承摩擦。
- 工程控制器还要处理夹角变化造成的速度放大率变化。
带回原题想一想
小球刚从与滑轮等高处向下运动时，为什么它已有速度而配重瞬时速度仍可接近零？
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参考答案
设小球相对滑轮的竖直距离为 \(y\)，水平距离为 \(d\)，斜绳长 \(s=\sqrt{d^2+y^2}\)。求导得 \(\dot s=(y/s)\dot y\)。刚与滑轮等高时 \(y=0\)，所以即使小球有 \(\dot y\ne0\)，仍有 \(\dot s=0\)。配重速度由另一段绳长的变化率决定，因此该瞬间可以接近零。
评分要点
- 写出斜绳长度 \(s=\sqrt{d^2+y^2}\) 或等价几何关系。
- 指出配重速度对应斜绳长度变化率，而不是小球速度本身。
- 利用 \(y=0\) 得出一阶长度变化率为零。
变式练习
进阶近似题：移动滑轮的二阶约束
竖直杆与定滑轮水平距离为 \(d\)。杆上小球以恒定速度 \(u\) 向下运动，在小球距滑轮水平面 \(y=d\) 的瞬间，求绳另一端重物的速度和加速度；设此时小球仍保持匀速。
变式答案
由 \(s=\sqrt{d^2+y^2}\)，\(v=\dot s=yu/s\)。在 \(y=d\) 时 \(v=u/\sqrt2\)。再求导得 \(a=u^2d^2/s^3\)，所以 \(a=u^2/(2\sqrt2d)\)，方向为绳端被拉动的方向。
思路提示
**解题思路**
速度约束来自绳长的一次求导；加速度约束必须再求一次导数，不能把瞬时速度比直接当成恒定比例。
真题拓展
轻绳拉动物块沿斜面匀速上行
高考真题 · 综合迁移
2019年全国新课标Ⅱ卷 · 物理部分第3题
真题先考轻绳方向、张力与斜面受力；原题在此基础上增加绳长约束、速度投影和系统能量转移。
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