题目
竖直放置的半圆形管道固定在水平面上。质量 \(m=0.4\,\mathrm{kg}\) 的小球以 \(v_0=5\,\mathrm{m/s}\) 沿水平面从管道最低点 A 进入，刚进入时对 A 点压力为 \(29\,\mathrm N\)。小球随后从最高点 B 水平抛出，最后垂直落在倾角为 \(45^\circ\) 的斜面 C 点，测得 B、C 高度差为 \(5\,\mathrm{cm}\)。取 \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\)。求：（1）圆弧管道半径 \(R\)；（2）小球经过 B 点时管道对小球作用力的大小和方向。
学习定位
轨道临界与抛体衔接
题族：半圆轨道与抛体衔接
训练能力：多阶段过程划分、速度方向约束
前置知识：竖直圆周运动、平抛运动
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参考答案
分步解析
1. 在 A 点列向心力方程
小球对管道压力为 \(29\,\mathrm N\)，由牛顿第三定律，管道对球的支持力 \(N_A=29\,\mathrm N\)。在最低点取竖直向上为向心方向：\(N_A-mg=mv_0^2/R\)。
2. 求管道半径
代入 \(29-0.4\times10=0.4\times5^2/R\)，得 \(R=10/25=0.40\,\mathrm m\)。
3. 由垂直落斜面求 B 点速度
B、C 高差 \(y=0.05\,\mathrm m\)，平抛竖直分速度为 \(v_y=\sqrt{2gy}=1\,\mathrm{m/s}\)。末速度垂直于 \(45^\circ\) 斜面，水平、竖直分速度大小相等，所以 \(v_B=1\,\mathrm{m/s}\)。
4. 求 B 点管道作用力
在最高点向心方向竖直向下，所需合力 \(mv_B^2/R=1\,\mathrm N\)，而重力为 \(4\,\mathrm N\) 向下。因此管道必须给小球 \(3\,\mathrm N\) 的竖直向上作用力，使向下合力为 \(1\,\mathrm N\)。
初学者探索过程
圆周接平抛，我在连接点传递速度
我把过程切成管内圆周和离管平抛，两段只通过 B 点的位置与瞬时速度连接。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. 压力方向先别猜
先回答：小球在封闭管道最高点时，先假定向圆心为正。比较重力 \(mg\) 与所需向心力 \(mv_B^2/R\)，管壁作用力可能朝哪个方向？
我先想到：在最高点我习惯把管道支持力也画向下。
检查这个想法：这是封闭管道，可从内外两侧作用；方向应由所需向心合力与重力大小比较。
修正之后：先列向下合力等于 \(mv_B^2/R\)。若重力过大，管道作用力就必须向上。
留下的方法：双侧约束力方向由方程结果决定。
2. 垂直落斜面怎样翻译
先回答：“垂直落在 \(45^\circ\) 斜面”同时给出位置和速度方向。末速度的水平、竖直分量应满足什么关系？
我先想到：我一开始只写落点在斜面上，仍缺水平速度。
检查这个想法：“垂直落在斜面”还给出了末速度方向：与 \(45^\circ\) 斜面法线平行。
修正之后：因此末速度水平、竖直分量大小相等，由高度差先求 \(v_y\)，再反推 B 点水平速度。
留下的方法：文字中的方向条件常比位置条件提供更多信息。
现实同构案例
过山车封闭圆管：轨道可以向内推，也可以向外推
现实场景
封闭式过山车导轨或滚珠管道能从两侧约束运动体。在圆弧顶端，如果重力大于所需向心合力，外侧轨道必须向上推，才能减小向下合力。
题目与现实如何对应
最低点压力用于反求曲率半径；最高点离轨后的抛体轨迹用于反求出口速度；再比较重力与所需向心力，判断管道作用力方向。
不变的物理模型
圆周段沿半径列 \(\sum F_r=mv^2/R\)，抛出后用速度分量和斜面法线条件连接落点。管道是双侧约束，因此支持力方向不能预先假定。
现实中还要补上的因素
- 真实车辆尺寸不可忽略，轨道还要限制冲击与过载。
- 滚动阻力和空气阻力会使圆弧前后机械能不完全守恒。
带回原题想一想
在 B 点若 \(mg>mv_B^2/R\)，为什么不能直接说小球一定脱离轨道？题中的“管道”与单侧轨道有什么不同？
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参考答案
B 点所需向心合力向下且大小为 \(mv_B^2/R\)。若 \(mg\) 更大，必须有一个向上的管壁作用力抵消部分重力。封闭管道能从小球两侧接触，既可向圆心推，也可背离圆心推，所以仍能保持约束；单侧轨道只能从一个方向提供支持力，当方程要求反向支持力时才会失去接触。
评分要点
- 比较重力与所需向心合力并判断需要向上的管壁力。
- 指出封闭管道属于双侧约束，可提供两个方向的支持力。
- 说明单侧轨道不能提供反向支持力，才可能脱离。
变式练习
进阶近似题：圆管出口与任意斜面正碰
小球从竖直圆管最高点以水平速度 \(u\) 飞出，落到与水平面夹角为 \(\beta\) 的斜面上，且速度恰好垂直斜面。若出口与落点高度差为 \(h\)，推导 \(u、h、\beta\) 的关系，并写出出口处管道作用力的通式。
变式答案
正碰条件给出 \(v_y/u=\cot\beta\)。又 \(v_y=\sqrt{2gh}\)，所以 \(u=\sqrt{2gh}\tan\beta\)。圆管最高点向下合力满足 \(mg+N_\downarrow=mu^2/R\)。若所得 \(N_\downarrow\) 为负，则管道实际作用力大小为 \(|mg-mu^2/R|\)，方向向上。
思路提示
**解题思路**
平抛末速度方向负责反求出口速度；圆周运动只使用出口瞬间的径向方程。圆管可从内外两侧施力，方向要由方程结果判断。
真题拓展
圆弧滑道运输货物的功与能量
高考真题 · 同一考点
2023年广东卷 · 第8题
两题都沿圆弧轨道追踪速度、支持力和功，并要求把切向运动与径向向心条件分开处理；原题还接入离轨后的抛体运动。
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