题目
质量为 \(m\) 的配重球甲穿在竖直光滑导向杆上并挂在缓冲弹簧上端，质量为 \(4m\) 的吊篮乙通过轻绳跨过定滑轮 O 与甲连接。初始甲在 P 点，滑轮左侧绳竖直，右侧绳与水平方向夹角 \(53^\circ\)，轻绳刚好伸直但无拉力。由静止释放乙，随后甲运动到 Q 点，O、Q 连线水平且 \(OQ=d\)。甲在 P、Q 两点处弹簧弹力大小相等。已知 \(E_p=kx^2/2\)，\(\sin53^\circ=0.8\)、\(\cos53^\circ=0.6\)。下列说法正确的是（ ）。
选项
- A. 配重球甲在 Q 点的加速度小于 \(g\)
- B. 配重球甲位于 Q 点时的速度大小 \(v\gt\sqrt{\dfrac83gd}\)
- C. 配重球甲从 P 点上升到 Q 点的过程中，甲和乙总机械能先增加后减小
- D. 配重球甲上升到 PQ 中点时，甲和乙总机械能增加量为 \(\dfrac{mgd}{3}\)
学习定位
弹簧与机械能
题族：配重绳约束与弹簧
训练能力：绳长几何约束、多物体能量转移
前置知识：关联速度、弹性势能
查看该模型的完整题族链核心知识点
参考答案
分步解析
1. 还原 P、Q 几何
初始斜绳长 \(OP=d/\cos53^\circ=5d/3\)，P 比 Q 低 \(d\tan53^\circ=4d/3\)。甲从 P 到 Q 上升 \(4d/3\)，乙下降 \(OP-OQ=2d/3\)。
2. 确定弹簧状态
P、Q 弹力等大且甲在 P 点静止、绳无拉力，故 P、Q 位于弹簧原长位置两侧，形变量分别为 \(-2d/3、+2d/3\)。在 P 点有 \(k(2d/3)=mg\)，即 \(k=3mg/(2d)\)。
3. 求 Q 点速度和加速度
P、Q 弹簧势能相等。两物体重力势能净减少 \(4mgd/3\)，而 Q 点绳长变化率为 0，乙瞬时速度为 0，所以 \(mv_Q^2/2=4mgd/3\)，得 \(v_Q=\sqrt{8gd/3}\)。Q 点弹簧与重力均向下，甲加速度大于 \(g\)。
4. 判断总机械能变化
甲、乙总机械能的增加量等于弹簧势能的减少量。弹簧势能从 P 到中点降为 0，再增回 Q 点原值，所以先增加后减小。中点增加量为 \(k(2d/3)^2/2=mgd/3\)。故 C、D 正确。
初学者探索过程
复杂装置先做几何，再做能量
我先只看绳和特殊三角形，算清两物体实际升降多少；之后才把弹簧加入能量账本。
每个阶段先暂停并写下自己的判断，再对照后面的检查与修正。
1. “甲上升多少，乙就下降多少？”
先回答：请分别计算初态和末态斜绳长度，而不是直接比较两物体竖直位移。同一根绳约束的是哪几段长度之和？
我先想到：同一根绳让我想当然地写两端位移等大。
检查这个想法：右侧是斜绳，甲竖直位移并不等于斜绳长度变化。
修正之后：分别计算 \(OP=5d/3\)、\(OQ=d\)，乙只下降 \(2d/3\)，甲却上升 \(4d/3\)。
留下的方法：有限位移约束必须比较绳段长度，不可套瞬时等速结论。
2. Q点吊篮为什么瞬时不动
先回答：甲到 Q 点时速度竖直、绳段水平。甲速度在绳方向上的投影是多少？由绳长变化率能推出吊篮瞬时速度是多少？
我先想到：绳始终绷紧，我认为甲、乙一定同时有速度。
检查这个想法：Q点绳段水平，而甲速度竖直，甲速度在绳方向的投影为零。
修正之后：此刻斜绳长度变化率为零，所以吊篮瞬时速度为零，能量中的动能只属于甲。
留下的方法：速度约束看运动速度在绳方向上的投影。
现实同构案例
电梯配重缓冲器：绳长几何与弹簧共同储能
现实场景
简化的电梯配重装置中，一端沿导轨运动，另一端悬挂吊篮，钢索绕过滑轮，端部还装有缓冲弹簧。导轨端位置改变会同时改变斜索长度和弹簧形变量。
题目与现实如何对应
甲对应导轨配重，乙对应吊篮，斜绳几何决定两者位移和瞬时速度关系；弹簧在初末等形变量时具有相同势能，但过程能量会先释放再储存。
不变的物理模型
先用绳长约束把甲、乙位移联系起来，再对“甲+乙+弹簧”用能量守恒。Q 点斜绳水平，使吊篮瞬时速度为零；这说明等长约束连接的是绳长变化率，不是两端速度恒等。
现实中还要补上的因素
- 真实钢索和滑轮有质量，弹簧还有阻尼。
- 工程缓冲器会避免理想弹簧导致的持续振荡。
带回原题想一想
甲到 Q 点时仍有速度，为什么吊篮可以瞬时静止？请从斜绳长度对甲竖直位移的一阶变化解释。
查看参考答案与评分要点
参考答案
吊篮速度等于斜绳长度变化率的相反数，而不是甲的速度大小。甲到 Q 点时，斜绳恰好水平，甲的瞬时速度竖直，二者垂直，所以甲速度在绳方向的投影为零。等价地说，斜绳长度对甲竖直位移的一阶导数在 Q 点为零，因此甲仍有速度时，吊篮也可瞬时静止。
评分要点
- 指出吊篮速度由斜绳长度变化率决定。
- 说明 Q 点绳方向与甲速度方向垂直。
- 得出一阶长度变化率为零，所以吊篮瞬时速度为零。
变式练习
进阶近似题：一般初始角的弹簧配重系统
将原题初始右侧绳与水平方向夹角改为 \(\alpha\)，仍有 \(OQ=d\)，且甲在初、末位置弹簧弹力等大。吊篮质量为 \(\lambda m\)。推导甲从初位置到 Q 的上升高度、吊篮下降高度和 Q 点甲的速度，并指出哪些结果依赖弹簧劲度系数。
变式答案
初始甲低于 Q 的高度 \(h=d\tan\alpha\)，斜绳长为 \(d/\cos\alpha\)，故吊篮下降 \(s=d(\sec\alpha-1)\)。端点弹簧势能相等，Q 点吊篮瞬时速度为 0，所以 \(mv_Q^2/2=\lambda mgd(\sec\alpha-1)-mgd\tan\alpha\)。即 \(v_Q^2=2gd[\lambda(\sec\alpha-1)-\tan\alpha]\)。端点速度不依赖 \(k\)，但过程中的能量分配和加速度依赖 \(k\)。
思路提示
**解题思路**
把 53° 的特殊三角形换成一般三角函数。端点弹簧能相等会把 \(k\) 从速度公式中消去，但不能据此认为整个运动都与弹簧无关。